Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
je dois t'avouer être perplexe, j'ai l'impression que tu as toutes les cartes en main et que tu devrais réessayer cette question. Je te mets ici ce qu'on a dit précédemment pour cette question :
Il faut faire une récurrence pour prouver que [tex]q_n = (1,16)^n * q_o[/tex].
Il faut voir que [tex]q_n=(1,16)\cdot q_{n-1}[/tex] pour n supérieur à 1.

Salut,
Pour cette question tu pars de [tex]q_n=1,16q_{n-1}[/tex] pour tout [tex]n \geq 1[/tex]. En outre tu as [tex]q_{n-1}=1,16q_{n-2}[/tex].
En combinant les deux tu as [tex]q_n = (1,16)^2 q_{n-2}[/tex].
Et ainsi de suite on descend progressivement jusqu'à atteindre [tex]q_0[/tex]. On obtient :
[tex]q_n=(1,16)^n q_0[/tex]

Bonsoir,

(Oui c'est ça pour le voisinage, il faut comprendre que ton prof demande en plus quand on parle de limite en un point a d'enlever a).
Ce que j'esseyais de dire, c'est que si tu arrives à prouver que la limite existe avec la définition précédente, alors tu l'as explicité dans ta preuve.
Là je t'ai suggéré de montrer que [tex]l=0[/tex]. Autrement dit, si on te donne [tex]\epsilon > 0[/tex] quelconque, est-ce qu'il existe [tex]\alpha[/tex] tel que si x est dans [tex] ]0-\alpha , 0 +\alpha [ [/tex], avec x distinct de 0, alors [tex]\vert f(x) - 0 \vert < \epsilon[/tex] ? On veut voir si la définition précédente est vraie pour a=0 et l=0.

Ta démarche n'est pas bonne, tu dis "si je suppose que c'est vrai, alors c'est vrai". Tu supposes que tu vérifies la définition d'avoir une limite l en 0, et tu dis, donc je vérifie la formule d'avoir une limite l en 0, tu n'as rien fait.

1) Une rédaction possible :
Soit [tex]\epsilon > 0[/tex] fixé. Soit [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] tel que [tex]0<\vert x - 0\vert <1 [/tex], (je choisis [tex]\alpha = 1[/tex], j'aurais pu prendre 50 ; 0,00001 ou 100 000 c'est pareil vu que f vaut tout le temps 0 sauf en 0).
On a alors [tex]\vert f(x) - 0 \vert = 0 < \epsilon[/tex].
[tex]\epsilon[/tex] étant quelconque, f admet donc 0 pour limite en 0.

2) Tu te doutes bien que cet exercice a été mis par ton prof pour mettre en valeur une subtilité entre la définition qu'il propose et une autre définition qui semble quasiment identique. La différence qui peut sembler anodine au premier abord c'est que dans le cas de 3.11 on demande à ce que "x ne soit jamais égal à a" tandis qu'a priori c'est possible dans le cas 3.1.
Pour cette question il faut se baser sur sa remarque (qu'il prouve) précédent l'exercice : "pour la définition 3.1, si la limite en un point a existe c'est forcément f(a)".
Ici notre fonction est discontinue en 0, elle vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs. Si f a une limite au sens de 3.1 en 0, par la remarque c'est forcément 1.
Or, en utilisant la négation de 3.1 tu peux montrer que f n'admet pas de limite égale à 1 en 0.
Donc f n'admet pas de limite en 0.

Sa remarque est importante, car elle nous dit qu'au sens de 3.1 le seul candidat possible de limite c'est f(a).
Ce qu'il faut retenir (en plus de l'aspect technique auquel il faut que tu t'habitues petit à petit) pour la suite c'est que pour la définition qu'il a choisi, c'est possible que la limite en a d'une fonction ne soit pas égal à f(a).

Note : je me suis aperçu que j'avais été négligeant sur l'énoncé et la preuve du petit exo que je t'ai proposé, je suis passé paufiner ça à l'instant, je t'invite à les relire c'est peut être plus clair maintenant, désolé. (J'ai précisé le domaine de définition de f pour l'énoncé et pour la preuve j'ai pris la définition de ton prof pour la limite).

Re,

Tu ne m'épuises pas du tout, au contraire, tu sembles faire preuve de bonne volonté et ça me motive plus qu'autre chose à te répondre. Par contre je crois que pour un second exercice, tu devrais ouvrir un autre topic.

Pour reprendre l'exercice précédent, plus la précision demandée est petite (on fait tendre epsilon vers 0) et plus il faudra se rapprocher de a (alpha doit tendre vers 0). C'est pour ça que faute d'expression explicite de f, difficile d'en dire beaucoup plus que "ça existe". J'ai imposé une précision de l/2 arbitrairement, mais pour déterminer explicitement le alpha associé... je ne peux rien dire. Dire que f admet une limite en a c'est imposer une certaine régularité autour de ce point (la continuité).

Pour ton exercice :
Oui, limite en 0 signifie bien a = 0.
f est une fonction qui vaut 0 quasiment tout le temps sauf en 0 où elle saute et vaut 1.
L'exercice précédent était d'écrire la négation de 3.11 :
[tex]\exists \epsilon > 0, \forall \alpha > 0, \exists x \in D \ \text{tq.} \ 0< \vert x - a \vert < \alpha \ \text{et} \ \vert f(x) - l \vert \geq \epsilon [/tex].
On peut interpréter ça avec des mots : "Pour notre candidat l de limite en a, l n'est pas la limite de f en a si :
il existe un écart epsilon tel que pour tout voisinage de a il existe un x dans ce voisinage tel que l'image f(x) et l sont écartés d'au moins epsilon".
L'inconvéniant avec cette définition c'est que tu supposes déjà connaître [tex]l[/tex] et ensuite tu testes si la définition marche.
Du coup je t'aide un petit peu :
1) Montre que f a une limite en 0 au sens de 3.11 égale à 0.
2) Montre que f n'est pas de limite 0 en 0 au sens de 3.1.

Oui c'est bien ça.

Gauche vers droite est juste par "inégalité triangulaire renversée", mais droite vers gauche est faux : [tex] \vert 1  \vert - \vert (-1) \vert < 1 [/tex] mais [tex] \vert 1-(-1) \vert =2 [/tex], et 2 > 1.

Mais même, ton raisonnement ne montre pas que f est strictement positive.

Appliquons la définition de la limite en a pour [tex]\epsilon = l/2[/tex] :
Il existe [tex]\alpha > 0[/tex] tel que si un réel x vérifie [tex]0< \vert x- a \vert < \alpha [/tex] alors [tex]\vert f(x) - l \vert < l/2 [/tex].
Donc pour tout [tex]x \in  ]a-\alpha , a+\alpha[ [/tex], avec x distinct de a, [tex]  -l/2<f(x) - l < l/2 [/tex].
Donc [tex] f(x) > l - l/2 > l/2 > 0 [/tex]

Remarque que [tex]\alpha [/tex] n'a jamais été explicitement déterminé, il existe, mais on ne peut pas vraiment en dire plus avec aussi peu d'hypothèse sur la fonction f.

PS : Sinon pour ton autre post sur la formule du binôme, c'est ok maintenant ?
Edit : j'ai légèrement changé la preuve pour être cohérent avec la définition de ton prof.

Petit rappel pour finir cette question 1) b) :
Pour calculer la variance tu dois calculer la différence entre la moyenne des carrés et le carré de la moyenne :
[tex]Var(X)=\text{moyenne}(X^2)- (\text{moyenne}(X))^2[/tex].
On veut l'écart-type, c'est la racine carrée de la variance :
[tex] \sigma = \sqrt{Var(X)} [/tex].

On a déjà calculé la moyenne de X, il faut qu'on calcule la moyenne des carrés, i.e. [tex]\text{moyenne}(X^2)[/tex]. Rajoute une ligne à ton tableau et calcule [tex]x^2[/tex] et calcule la moyenne de cette ligne. Il te restera ensuite à finir grâce aux formules rappelées ci-dessus :).

Pour la question 2)a) :
[tex]\frac{q_n - q_{n-1}}{q_{n-1}} = 0,16 \Leftrightarrow q_n - q_{n-1} = q_{n-1} \cdot 0,16 \Leftrightarrow q_n = q_{n-1} + q_{n-1} \cdot 0,16 \Leftrightarrow q_n = 1,16 \cdot q_{n-1}  [/tex]. On reconnaît alors une suite géométrique, quelle est la raison ?

Est-ce que ça te débloques pour la suite ?

Re,
tu as [tex]m \leq f'(x) \leq M[/tex] sur [0,1]. Intrègre !

Salut,
Déjà tu as écris "f' est strictement croissante", c'est surêment une coquille mais c'est bien "f est strictement croissante" qui est vrai et pas f'. Du coup f est strictement croissante et donc injective. f est donc bijective de [0,1] dans f([0,1]) (on a toujours surjectivité sur l'image...). Pas besoin d'autres arguments.

En tout cas, la question porte sur f' et non sur f.
Remarque que f' est continue.

Re,

Oulà non c'est faux. Tu t'es mis en tête de ré-écrire 1+x sous "forme de somme" mais c'est incompréhensible, c'est déjà une somme ! Tu ne confondrais pas avec le développement en série entière de [tex]\frac{1}{1+x}[/tex] ? Bref, (1+x) c'est déjà une somme !
Je suis partis de la dernière égalité que tu as écrites en utilisant la notation "k parmis n" plutôt que des factoriels. Ensuite j'ai simplement développé... Autrement, si tu préfères j'ai écris que [tex](1+x)^{n+1}[/tex] est égal à [tex]1(1+x)^n + x  (1+x)^n [/tex], puis j'ai remplacé (1+x)^n pour le coup par sa forme somme, qui est supposée vrai au rang n.

Je n'ai pas augmenté k de 1 dans la première somme. J'ai séparé la somme en deux morceaux : le premier terme d'un côté, le reste de l'autre.
Dans la seconde somme j'ai fais le changement de variable [tex]i=k+1[/tex] puis j'ai séparé le résultat en deux morceaux, les termes de 1 à n d'un côté et le dernier terme de l'autre. J'ai ensuite ré-utilisé la lettre k pour plus de commodité.

Salut,
1) Non, le deuxième cas n'est pas un cas particulier du premier. Idem, pour la troisième question.
Dans les deux cas la fonction devient de plus en plus dure à contrôler aux bords (l'un des bords seulement pour la troisième question). Si on se permet une marge de sécurité avec le bord, aussi infime soit-elle (le a est arbitrairement proche de 1 dans la première question, mais est fixé), alors on peut avoir un contrôle uniforme de la convergence. On fixe d'abord un a, puis on étudie (f_n).

Le problème se rapproche de 1 lorsque n grandit, si on s'impose une marge de sécurité avec 1, pour n assez grand le problème sera envoyé hors de notre étude.

2) Pour la convergence simple, il n'y a pas de cas indéterminé, pour tout n, [tex]f_n(1)=0[/tex] que tu peux faire tendre vers l'infini... ça fera encore 0.
Pour la convergence uniforme, relis toi !

3) Tu n'as pas majoré par une suite, elle dépend de x ! Ta proposition c'est si tu majores par une suite indépendante de x.

Bonjour à vous deux,
comme le dit totomm, la variance c'est un moment d'ordre 2 "recentré", je dirais que c'est l'écart moyen quadratique (d'ordre 2) avec la moyenne. Après on peut aussi étudier [tex]E[ \vert X - E[X] \vert ][/tex] sans carré mais je préfère alors mettre des valeurs absolues car je peux alors l'interpréter comme l'écart moyen absolu (d'ordre 1) avec la moyenne.

Pourquoi préférer étudier l'écart quadratique plutôt qu'absolu... a priori je ne vois pas de véritable raison si ce n'est qu'il est peut être plus naturel au sens suivant : la covariance c'est "presque" un produit scalaire, c'est une forme bilinéaire symétrique positive mais pas définie à une constante près, et sa forme quadratique associée c'est la variance. Ainsi si on étudie les v.a. qui admettent un moment d'ordre 2 (de carré intégrable), alors ça me semble naturel d'étudier la "presque norme" qu'est la racine de la variance aussi appelée écart-type.

Que quelqu'un me corrige si j'ai dis une ânerie !

Bonjour,
Tu aurais au moins pu répondre quelque chose... Bref, finissons le boulot, il n'y a plus qu'à conclure.
Soit [tex]\sigma=(x_0=0,x_1, \ldots, x_n=1)[/tex] une subdivision de l'intervalle [0,1].

   Par densité de [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], pour tout i entre 1 et n il existe un rationnel appartenant à l'ouvert [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex]. Donc l'infimum de f sur [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex] est atteint et est égal à 0.
Donc [tex]s_{[0,1]}(f,\sigma)=\sum_{i=1}^{n}{0\cdot (x_{i+1}-x_i)}=0[/tex].

   Par densité de [tex]\mathbb{R}- \mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex],  il existe un irrationnel appartenant à l'ouvert [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex]. Donc le supremum de f sur [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex] est atteint et est égal à 1.
Donc [tex]S_{[0,1]}(f,\sigma)=\sum_{i=1}^{n}{1\cdot (x_{i+1}-x_i)}=1[/tex].

[tex]S_{[0,1]}(f,\sigma)-s_{[0,1]}(f,\sigma) =1[/tex] indépendamment de la subdivision choisie, f n'est donc pas (Riemann-)intégrable.