Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Petite aide pour démarrer.

1.a)

Soit g(x) = e^x - x^(m+1)/(m+1)!
g'(x) = e^x - (m+1)/(m+1)! * x^m
g'(x) = e^x - x^m/m!

Si e^x - x^m/m! > 0, alors g est croissante.
Et comme g(0) = 1, on a g(x) > 0 pour tout x >= 0

De ce qui précède, on sait donc que :
Si e^x - x^m/m! > 0, alors  e^x - x^(m+1)/(m+1)! > 0

Donc que si e^x > x^m/m! , alors on a aussi e^x > x^(m+1)/(m+1)! (1)

Pour m = 1, on vérifie que e^x > x^1/1! , soit donc que e^x > x (par exemple en étudiant les variations de h(x) = e^x - x (pour x >= 0)

On a donc : e^x > x^m/m! est vrai pour m = 1 et par (1), e^x > x^m/m! est vrai pour tout m de N*

Bonjour,

Tu dois pouvoir dériver sans erreur.
Je fais le premier ... si tu veux faire l'autre par la même méthode, c'est à toi de le faire.

f(x) = 1/(x+1) - ln((x+1)/x)
f '(x) = -1/(x+1)² + 1/(x.(x+1)) = (-x + x + 1)/(x.(x+1)²) = 1/(x.(x+1)²) > 0 sur R*+ --> f est strictement croissante.
lim(x--> +oo) f(x) = 0
Et des 2 lignes précédentes on conclut que f(x) < 0 sur R*+ --> 1/(x+1) - ln((x+1)/x) < 0
1/(x+1) < ln((x+1)/x)

Bonjour,

Si tu ne connais pas la méthode facile indiquée par Fred ...

Petite aide pour démarrer autrement.

Par exemple pour montrer que 1/(x+1) < ln((x+1)/x))

Tu peux étudier les variations de f(x) = 1/(x+1) - ln((x+1)/x))

Et tu devrais pouvoir alors montrer que f(x) < 0 sur ]0 ; +oo[ et donc ...

Bonjour,

Il n'y a pas 2 fonctions solutions.

La solution est :

g(x) =  2 - V(x²/(4-x²)) pour x compris dans ]-2 ; 0]
g(x) = 2 + V(x²/(4-x²)) pour x compris dans [0 ; 2[

Mais il te reste à le démontrer.

C'est facile à vérifier par graphique, le graphe de f(x) et le graphe de g(x) sont symétriques par rapport à le 1 ère bissectrice des axes (droite d'équation y=x)

Bonjour,

Tu n'as rien essayé de faire ?

Soit N le nombre de personnes, chacun touchera donc une somme S1 = 7200/N

Si le nombre de personnes était (N-5), chacun toucherait donc une somme S2 = 7200/(N-5)

Quelle relation existe-t'il entre S1 et S2 sachant que "S'il y avait 5 personnes de moins, La part de chacun augmenterait de 20" ?

...

Bonjour,

Tu as bien fait une erreur de recopie d'énoncé.

Dans l'énoncé photocopié, il y a un terme (4i - 1) ... et toi tu as écrit (4-i)

Mais cela ne donne quand même pas de "jolies" solutions.

En plus de la solution triviale z = 5i ...

Je trouve [tex]\Large{ z = \frac{-5\pm \Delta}{2i}}[/tex] avec [tex]\Delta^2 = 41 + 4i[/tex]

Et donc il faut aussi trouver les racines carrées de 41 + 4i ... c'est sans difficulté mais ne donne pas des valeurs "rondes".

Bonjour,

"la solution du problème qui suit touche l'axe des x mais ne le coupe pas"

On peut penser qu'au point correspondant, f a un extremum ou un point anguleux ou un point de rebroussement ... mais dans ces 2 derniers cas, f ne serait pas dérivable au point considéré et donc l'équation différentielle n'aurait pas de sens.

Il me semble donc que la seule possibilité envisageable est un extremum local (y'(a) = 0 et y(a) = 0) ... qui conduit à a = 1

On a donc une équation différentielle d'ordre 1 avec un condition (y(1) = 0) ... et si on résout numériquement à partir de là (par petits incréments ou décréments), on trouve bien une courbe à un seul extremum (qui est un minimum en x = 1 et y = 0).
On voit aussi sur la courbe ainsi tracée que f(x) "grandit" très fort pour x --> 0+

Ce n'est pas une solution de matheux (que je ne suis pas), mais une approche à la "ingénieur" qui permet de voir où on met les pieds.

Je pense qu'on peut montrer que pour x proche de 0+, f(x) [tex]\simeq[/tex] -ln(x) convient comme solution.

Probablement sans assez de rigueur, ainsi :

pour x proche de 0+, on a :

y' + (2/3)y = -1/x (car |1/x| > > > 1)

Si y = -ln(x)
y' = -1/x

y'/y = x.ln(x) = ln(x)/(1/x)

lim(x--> 0+) y'/y = (par Lhospital) lim(x--> 0+) (1/x)/(-1/x²) = lim(x--> 0) [-x] = 0

et donc près de 0+, |y'| < < |y| , l'équation différentielle est vérifiée.

Près de 0+, une solution de l'équation différentielle est f(x) [tex]\simeq[/tex] -ln(x)

Et donc, comme pressenti, y(0+) = lim(x-->0+) -ln(x) = +oo

De toutes manières, la question posée (trouver la valeur de y(0)) n'a pas de sens.

Il serait intéressant d'avoir un énoncé complet et non interprété (je suppose qu'il l'est) pour pouvoir avancer avec visibilité.

Pas vraiment.

Bonjour,

Constat amer et malheureusement réaliste.

Depuis longtemps on pousse à augmenter le pourcentage de réussite au bac, c'est bien en soi ...

Pour y arriver, comme il est difficile (impossible) de rendre les élèves plus intelligents, qu'il est très coûteux de donner un enseignement spécifique à chacun pour en tirer le meilleur ... il reste l'option simple qui est de diminuer drastiquement les exigences. 

Evidemment, ce n'est pas présenté ainsi, on enrobe dans de beaux discours ... mais c'est cependant ce qui est fait.

On peut aussi remarquer (là je vais me faire boxer par beaucoup) une diminution très conséquente des horaires de cours.

Il y a maintenant 50 ans, quand j'usais mon pantalon sur les bancs de l'école secondaire, les élèves avaient entre 32 et 36 heures de cours par semaine (des heures de 60 minutes), aujourd'hui, on doit être entre 25 et 28 périodes de 55 ou 50 minutes par semaine.

Cela correspond à une diminution de durée de cours entre 20 et 40 %.

On ne peut pas atteindre le même niveau avec (en moyenne) une durée d'enseignement 30 % plus petite.

J'entends les discours sur la fatigue de nos têtes blondes et ... Il faut croire alors qu'avant nous avions une résistance à toute épreuve.

Bonjour,

Oui,  le "truc" énoncé marche quel que soit le degré du polynôme.

Exemple pour une équation du 4 eme degré :

21x^4 + 25x³ + 24x²+3x-1 = 0

Diviseurs de |21| : 1 , 3 , 7 , 21
Diviseurs de |-1| : 1

Les solutions dans Q si elles existent, sont, au signe près, parmi : 1/1 = 1 ; 1/3 ; 1/7 ; 1/21

Et on peut vérifier que les solutions : 1/7 et -1/3 vérifient bien l'équation.

Salut,

Je présume que c'est x³+ax²+bx+c=0 et pas ce que tu as écrit.

a) si a est solution, alors : a³+a.a²+b.a+c=0
2a³ + ab + c = 0

Si a = 0 on est dans la mouise, car on ne peut pas alors dire que a divise c. (on ne peut pas diviser par 0)

Si a est différent de 0 :
2a³ + ab + c = 0
2a + b + c/a = 0

comme a et b sont dans Z, alors c/a aussi et donc ...
**************
J'aide pour la c par une méthode trop peu souvent enseignée (donc aide peut-être trop complète ... si c'est le cas , pas de problème pour moi, qu'un modérateur la supprime)

c)
x³-15x-4 =0

Rappel théorique (trop peu souvent enseigné) :

Soit l'équation : Ax³ + Bx² + Cx + D = 0
Les solutions dans Q, si elles existent sont obligatoirement (au signe près) parmi : (un diviseur non nul de D)/(Un diviseur non nul de A)

Donc ici, avec A = 1 (le disieur unique est 1) et D = -4 (les diviseurs sont 1 , 2 et 4) -->
Si il y a des racines dans Q, elles sont obligatoirement dans Z (puisque le seul diviseur de A est 1) et ne peuvent être que parmi les valeurs : -4 , -2 , -1 , 1 , 2 ou 4

Il suffit donc d'essayer des valeurs comme solutions ... on constate que 4 convient.

On peut alors (si on veut, mais ce n'est pas demandé) faire ceci :
x³-15x-4 =0
x³ - 4x² + 4x² - 16x + x - 4 = 0
x²(x-4) + 4x(x-4) + (x-4) = 0
(x-4).(x²+4x+1) = 0
***************
On peut pour la b, soit procéder comme pour la c (méthode ci-dessus) et montrer qu'aucune des solutions éventuelles dans Z qu'on retire de la méthode ne convient

ou bien :
- montrer (facile) que les solutions dans Z éventuelles ne peuvent être que strictement négatives.
- montrer que f(x) = x³+3x+3 est strictement croissante.
- calculer f(-1)
- Et on peut alors conclure à partir de ce qui précède.

Il existe évidemment de multiples autres manières de faire.

Salut,

Je confirme les résultats de Wiwaxia.

y = (A + Bx)cos(x) + (C + Dx)sin(x)

y' = (B+C+Dx).cos(x) + (D-A-Bx).sin(x)

y'' = (2D-A-Bx).cos(x) - (2B+C+Dx).sin(x)
***

y - y'' = (2D-2A-2Bx).cos(x) - (2B+2C+2Dx).sin(x)

y - y'' = (2D-2A)cos(x) - 2Bx.cos(x) - (2B+2C).sin(x) - 2Dx.sin(x)

A comparer à : y" −y = −6 cos(x)+2x.sin(x).

On obtient le système :

(2D-2A) = -6
2B = 0
-(2B+2C) = 0
-2D = 2

Qui résolu donne : B = C = 0 ; A = 2 et D = -1

Une solution particulière de y" −y = −6 cos(x) + 2x.sin(x) est donc : y = 2.cos(x) - x.sin(x)