Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

C'est étonnant comme questions. Quel intérêt d'écrire un livre ??? On a l'impression que tu veux écrire un livre uniquement pour ton intérêt personnel.

Je crois que si tu veux écrire un bon livre, il faut savoir à qui tu t'adresses et ce que tu veux en faire : qu'est-ce que tu veux apporter de nouveau ?

De mon point de vue, il y a beaucoup de livres de maths et on s'y perd dès qu'on veut savoir lequel lire...

Concernant l'éditeur, il y en a pas mal qui recherche des auteurs... mais ce ne sont pas toujours ces éditions qui font du bon boulot (relecture peu fiable, contenu pas trop réfléchi...).

Pour terminer j'ai aussi l'impression que pour écrire un livre sur l'enseignement (puisque tu fais référence à l'ouvrage "Mathématiques pour primaire et secondaire") il faut mieux avoir un expérience d'enseignement !!! Bref, ne pas mettre la charrue avant les boeufs !

Roro.

Bonjour,

Bon, je crois qu'on a du mal à se comprendre donc je vais m'arrêter là car je n'arrive pas à savoir ce que tu veux...
J'ai essayé de te donner des pistes en tentant de deviner ce que tu voulais mais ça n'a pas l'air de te convenir.

Pour revenir sur les termes que tu emploies : tu évoques les facteurs de $Q_1$ qui est un polynôme. Pour moi, la définition d'un facteur d'un polynôme $Q$ est assez claire. C'est un autre polynôme $R$ qui divise $Q$. Ce n'est pas une expression qui multiplie $Q$ !!!

Roro.

Bonjour,

Tu as écris beaucoup de texte et c'est difficile de comprendre ta question !!!

En fait, j'ai l'impression que tu essayes de savoir quand est ce qu'on peut trouver une solution particulière $y_0$ à l'équation (E) sous la forme
$$y_0(x) = \mathrm e^{\alpha x} \big( Q_1(x) \cos (\beta x) + Q_2(x) \sin(\beta x) \big)$$

Comme tu le dis, tu as
$$y_0 \text{ solution de (E)} \quad \Longleftrightarrow \quad ay_0''+by_0'+cy_0=g$$

En utilisant la forme particulière de $y_0$, tu peux continuer par équivalence jusqu'à
$$y_0 \text{ solution de (E)} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} & P_1 = mQ_1 + n Q_2 \\ & P_2 = -nQ_1 +m Q_2 \end{aligned}\right.$$
où $m$ et $n$ sont deux coefficients dépendant de $a$, $b$, $c$, $\alpha$ et $\beta$ (que je te laisse trouver).

Ainsi, lorsque $m$ ou $n$ est non nul (ce qui correspond exactement à ta condition $\alpha + \mathrm i \beta$ n'est pas racine de l'équation caractéristique) alors tu peux résoudre le système de façon unique :
$$y_0 \text{ solution de (E)} \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{ \begin{aligned} & Q_1 = \frac{1}{m^2+n^2} (m P_1 - n P_2) \\ & Q_2 = \frac{1}{m^2+n^2} (nP_1 +m P_2) \end{aligned}\right.$$
ce qui devrait répondre à tes questions.

Roro.

P.S. Je pense qu'il est délicat d'affirmer que ce site est mal conçu !
Lorsque tu tapes une formule en Latex, et que cette formule est trop longue, ton compilateur t'indique une erreur... ici c'est pareil : il faut mettre ta formule sur plusieurs lignes.

Salut,

Un début de réflexion : ce qui est louche c'est que Georgia et Helen se soient rencontrées...

Explication : Ce que je pense pour l'instant c'est qu'un sous-graphe de la forme X---Y---W---Z contenant aussi un lien entre X---Z (mais pas d'autres liens plus directs entre X, Y, Z et W) me semble impossible, sauf si X ou Z est venue deux fois...

On doit donc pouvoir chercher de tels sous-graphes.

Roro.

Bonjour,

D'ou sort cette intégrale ?

Je pose cette question car à mon avis, il n'est peut être pas possible d'en calculer une valeur exacte...

Roro.

Oui, les règles de priorité sont les mêmes que ce soit avec des nombres réels ou avec des nombres complexes : $1+\mathrm i (1+2) = 1+3\mathrm i$.

Ensuite, si tu as vu un cours élémentaire sur les nombres complexes, tu dois savoir passer de la forme algébrique $1+3\mathrm i$ à la forme trigonométrique...

Roro.

Bonjour,

Peut être une indication : si $\varphi$ est une forme linéaire non nulle sur $\mathbb R^n$ alors $\mathrm{ker}(\varphi)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de dimension $n-1$ (c'est une conséquence directe due théorème du rang).

Il existe donc une droite vectorielle $D=\mathrm{vect}\{e\}$ telle que
$$\mathrm R^n = \mathrm{ker}(\varphi) \oplus D.$$

Ainsi, pour tout $x\in \mathbb R^n$, il existe $x_0\in \mathrm{ker}(\varphi)$ et $\lambda\in \mathbb R$ tel que $x=x_0+ \lambda e$.

Roro.

Bonjour,

Ce package est très utile pour moi (et pour pas mal de monde je crois), dès qu'on veut faire un dessin en Latex, qui soit compilable sans faire appel à un fichier externe.

Roro.

Bonjour,

Contrairement à Yoshi, j'aurai conservé cette question dans la section "Supérieur" car, bien qu'on définisse $a^x$ au collège/lycée pour des valeurs "simples" de $a$ et $x$, la question générale est posée plus tard...

Pour faire court (et sans doute un peu trop) :

$\bullet$ En collège/lycée, $a^x$ est défini pour $a\in \mathbb R$ et $x\in \mathbb N$ par la produit $x$ fois de $a$ par lui-même :
$$a^x = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{x \text{ fois}}$$.
On vérifie alors facilement qu'on a la propriété (P) suivante $a^{x+y} = a^x a^y$.

$\bullet$ On peut généraliser au cas où $x\in \mathbb Z$ lorsque $a\neq 0$ en posant
$$a^{-1} = \frac{1}{a}$$
et en généralisant la propriété (P). Attention, lorsque $a=0$ et $x$ est un entier négatif, on ne peut plus définir $a^x$...

$\bullet$ Ensuite (lycée et surtout supérieur), la propriété (P) permet de relier cette définition à celle des fonctions logarithmes et exponentielles. On peut alors écrire
$$a^x = \mathrm e^{x \ln(a)}$$
Cette définition permet de retrouver celles précédentes (cas où $x$ est entier, et $a>0$), mais permet aussi de définir $a^x$ pour tout réel $x$, et pour tout réel strictement positif $a$.

Au final, $a^x$ est défini

- lorsque $a>0$ et $x\in \mathbb R$

ou

- lorsque $a<0$ et $x\in \mathbb Z$.

Un cas un peu particulier, lorsque $a=0$, on pose $x^0=1$ pour tout $x\neq 0$, mais $0^0$ n'est pas défini.

En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises.

Roro.

OK Je comprend.

En fait, une suite de fonctions $(f_n)_{n\in \mathbb N}$ est une suite où chaque terme de la suite est une fonction.

Ainsi, le premier terme de la suite est la fonction $f_0$. C'est une fonction (disons de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$) et on peut donc parler de sa monotonie au sens classique pour une fonction. Par exemple, si cette fonction est dérivable, on dira qu'elle est croissante dès que sa dérivée est positive, etc.

Si tu sais que pour tout entier $n\in \mathbb N$, la fonction $f_n$ est croissante alors ça signifie que
$$\forall n \in \mathbb N \quad \forall (x,y)\in \mathbb R^2 \quad x<y \Longrightarrow f_n(x)<f_n(y)$$

Si cette propriété est vraie, alors tu peux l'écrire pour tous les entiers $n$, et donc pour un entier que tu peux appeler $n+1$...

Ceci étant dit, ta question n'a finalement rien à voir avec la monotonie car tu as toujours l'implication suivante
$$\Big( \forall n \in \mathbb N \quad \mathcal P_n \text{ est vraie}\Big) \quad \Longrightarrow \quad \Big( \forall n \in \mathbb N \quad \mathcal P_{n+1} \text{ est vraie}\Big)$$

Roro.

Bonjour,

Oui.

Roro.

Bonjour,

Suite aux différentes interventions, je vois apparaître deux points différents :
1 - la modélisation ayant conduit à l'équation différentielle de Piquard dans son message initial ;
2 - la résolution de ladite équation différentielle.

Pour la première question, je suis - comme Black Jack - assez surpris de la racine carrée... tu as dû extraire la racine carrée de quelque chose sans être certain que c'était positif ($\sqrt{\dot{\theta}^2}  = |\dot{\theta}| \neq \dot{\theta}$). La formulation classique de l'équation que tu sembles chercher est celle d'un pendule pesant, voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_pesant

Pour la seconde question, si tu veux une solution de ton équation différentielle (ce sera aussi le cas si tu utilises l'équation plus usuelle d'un pendule pesant évoqué ci-dessus) tu peux
1 - soit faire une approximation de petits angles et comme le dit Black Jack, te retrouver avec un problème linéaire simple ;
2 - soit te contenter d'une solution utilisant des fonctions spéciales comme l'évoquait Fred ;
3 - soit utiliser un outil d'approximation numérique (tableur ou programmation).

Roro.