Forum de mathématiques - Bibm@th.net

D'ailleurs si jamais j'ai raison, la méthode que demande Byron dans son premier post n'a pas été décrite.
Donc au cas où, je me lance.

Quand on a une fonction polynômiale f de degré 2, dont on connait deux racines distinctes notées u et v, ainsi que la valeur f(w) pour un certain w différent de u et v.
1/ Comme on connait les racines de f, on sait que f(x) se factorise en a(x-u)(x-v), où a est la seule inconnue.
2/ Comme on connait w et f(w) (avec w différent de u et v), on obtient f(w) = a(w-u)(w-v) ou encore [tex]a = \frac{f(w)}{(w-u)(w-v)}[/tex] (car w différent de u et v).

On conclut [tex]f(x) = \frac{f(w)}{(w-u)(w-v)}(x-u)(x-v)[/tex] que tu peux éventuellement développer

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Salut,
pour le coup je ne suis pas d'accord avec toi yoshi. Certes, il faut savoir appliquer la méthode du pivot de Gauss. Mais de la même façon qu'il faut savoir abréger lorsque le système a une forme particulière, il faut savoir exploiter toutes les connaissances dont on dispose. Notamment, quand il s'agit de polynômes, on sait que toute racine µ du polynôme permet de factoriser celui-ci par X-µ et prendre l'habitude de l'utiliser est aussi quelque chose qu'il faut apprendre.

Ensuite tout dépend du niveau. Peut-être que son prof te donnera raison yoshi. Mais s'il a déjà vu la factorisation d'un polynôme de degré 2, ce serait gâcher que de ne pas l'exploiter. :(

Cordialement
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Salut.
Bonne question ! Il s'agit d'un bel exemple de la théorie des extensions de corps.
Les nombres constructibles à la règle et au compas sont algébriques de degré 2^k pour tout k entier naturel. (Je suis volontairement vague). (edit : mais tous les algébriques de degré 2^k ne sont pas nécessairement constructibles !)
Heuristiquement c'est parce que cercle et droite admettent une équation de degré 1 ou 2. (Je suis volontairement vague aussi)

Pour plus de détails, on trouve une caractérisation bien précise ici :
http://www.dma.ens.fr/culturemath/maths … tibles.pdf   Paragraphe 2.3, Théorème 2.5
Enjoy !
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PS : Il me semble fortement qu'on peut en déduire l'impossibilité de la trisection de l'angle à la règle et au compas.

Hello, finalement j'en rajoute une dernière petite couche pour la route.
Ce n'est pas tout à fait exact JJ, en fait on pourrait très bien choisir la détermination principale du logarithme sur [tex]\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- [/tex] (notée log dans la suite) et l'utiliser pour répondre à la question.
(Je précise que cette détermination coincide avec le log classique sur [tex]\mathbb{R}_+^*[/tex])

Ce qui n'est alors plus vrai c'est [tex]\log(e^a) = a[/tex] !!
Par contre si [tex]\mathrm{Im}(a) \in ]-\pi,\pi[[/tex] alors, [tex]\log(e^a) = a[/tex].
Et plus généralement si [tex]\mathrm{Im}(a)\, \notin\, \pi + 2\pi\mathbb{Z}[/tex] alors [tex]\log(e^a) = b[/tex] avec [tex]b\, \in\, a + 2i\pi\mathbb{Z}[/tex] et [tex]\mathrm{Im}(b) \in ]-\pi,\pi[[/tex] ( b est ainsi défini de manière unique ).

En appliquant ceci, on a : [tex]\log(e^{2i\pi}) = b[/tex] avec  [tex]b \in 2i\pi + 2i\pi\mathbb{Z}[/tex] et [tex]\mathrm{Im}(b) \in ]-\pi,\pi[[/tex], ce qui donne [tex]b = 0[/tex]
Ainsi  [tex]\log(e^{2i\pi}) = 0 = \log(1)[/tex] et on a pas de contradiction

Quoi qu'il en soit, quand on ne sait pas ce qu'est le log complexe, il vaut mieux penser qu'il n'existe pas.
bye bye

Hello,
Même si c'est trop tard pour la personne qui a posé la question, certains veulent peut-être connaitre la réponse, alors la voici :

1/ [tex](x,y) \in E \times (A \cap B) \Leftrightarrow x \in E\; \wedge\; y \in (A \cap B)[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow x \in E\; \wedge\; (y \in A\; \wedge\; y \in B)[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow (x \in E\; \wedge\; y \in A )\; \wedge\; (x \in E\; \wedge\; y \in B )[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow (x,y) \in E \times A \; \wedge\; (x,y) \in E\times B[/tex]
                [tex] \Leftrightarrow (x,y) \in (E \times A) \cap (E \times B)[/tex]
D'où la conclusion

2/[tex]X \in \mathfrak{P}(A)\, \cap\, \mathfrak{P}(B) \Leftrightarrow X \in \mathfrak{P}(A)\; \wedge\; X \in \mathfrak{P}(B)[/tex]
                [tex]\Leftrightarrow X \subset A\; \wedge\; X \subset B[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
                [tex]\Leftrightarrow X \subset A \cap B[/tex]
                [tex]\Leftrightarrow X \in \mathfrak{P}(A \cap B)[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
CQFD

3/ MQ [tex]A \subset B \Leftrightarrow \mathfrak{P}(A) \subset \mathfrak{P}(B)[/tex]
(=>) Supposons [tex]A \subset B[/tex]
     Soit [tex]X \in \mathfrak{P}(A)[/tex], cela signifie : [tex]X \subset A[/tex]
     Puis par hypothèse : [tex]X \subset B[/tex] et donc [tex]X \in \mathfrak{P}(B)[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
(<=) Supposons [tex]\mathfrak{P}(A) \subset \mathfrak{P}(B)[/tex]
     On a bien sûr [tex]A \in \mathfrak{P}(A)[/tex], donc par hypothèse : [tex]A \in \mathfrak{P}(B)[/tex]
     Puis [tex]A \subset B[/tex] (par définition de [tex]\mathfrak{P}[/tex])
CQFD

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A titre indicatif, il s'agit d'un DM posé à quel niveau ?

Salut,
on écrit simplement p² sous la forme p*p

Je reprends :
on sait que pgcd(a,b) = pgcd(a+b,b)
en prenant a = n - kp  et b = p
on obtient que :
pgcd(n-kp,p) = pgcd(n-kp+p,p) = pgcd(n-(k-1)p,p)   (*)

Maintenant en prenant cette égalite pour k=p, puis k=p-1 ...etc ...
On obtient :
pgcd(n-pp,p)      = pgcd(n-(p-1)p,p) pour k=p
pgcd(n-(p-1)p,p) = pgcd(n-(p-2)p,p) pour k=p-1
pgcd(n-(p-2)p,p) = pgcd(n-(p-3)p,p) pour k=p-2
....................... = .....................  pour ....
pgcd(n-2p,p)      = pgcd(n-p,p)       pour k=2
pgcd(n-p,p)        = pgcd(n,p)         pour k=1

en mettant bout a bout ces égalités on a le résultat voulu.
En espérant que ce soit plus clair cette fois-ci

[edit]
En fait pour être tout à fait rigoureux, il faudrait mettre en place une récurrence.
En conservant les notations ci-dessus, l'hypothèse H_k de récurrence serait :
H_k = " pgcd(n-kp,p) = pgcd(n,p) "
* H_0 est triviale
* H_k se démontre à partir de H_(k-1) en utlisant (*)
[/edit]

Hello,
À priori, je ne vois pas grande utilité à l'inégalite imposée.
En effet, quels que soient a et b entiers relatifs : pgcd(a,b) = pgcd(a-b,b)
Ensuite comme le dit yoshi : pgcd(n-p²,p) = pgcd(n-(p-1)p,p) = pgcd(n-(p-2)p,p) = ... = pgcd(n,p)

Si la condition est n²>p, j'imagine que c'est pour la suite
Si c'est n>p², j'imagine que c'est pour assurer la positivité dans la suite
Dans tout les cas, la condition n'est pas utile dans cette question.
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[edit] modifier c'est bien, ça permet de supprimer ses conneries ;)[/edit]