Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir, ou bonjour (vu l'heure)

Je me permets d'ajouter mon grain de sel : j'ai écarquillé les yeux en découvrant tard le soir le message de Saraa.
Tout dévoué que je sois envers mes élèves, même si je ne les connais rigoureusement pas, je n'aurais en aucun cas accepté de me plier à une telle demande, qui, effectivement, relève de la parfaite indécence (ou de la parfaite inconscience) !

Quant à la réaction de Morange, elle est révélatrice de ce qu'on peut s'autoriser du fait de l'anonymat que procure un pseudonyme...

Bonsoir Doc,

Je clarifierai autant qu'il est nécessaire à la demande. Promis.

Pour l'instant j'élabore la suite, dans laquelle j'explique où je veux en venir.

[ suite 3 ]

Pour le volume d'un parallélépipède de dimensions $L \times P \times H$, la logique est de même nature que pour les intégrales simple et double :
on somme un parallélépipède infiniment petit de dimensions $dx \times dp \times dh$ selon l'un des trois axes ; le trait ainsi obtenu est sommé selon l'un des deux axes restants, ce qui génère une des faces ; la face ainsi obtenue est sommée selon l'axe restant, ce qui permet de générer le parallélépipède.

Il y a donc $3! = 6$ façons de calculer le volume d'un parallélépipède en partant de l'origine (le coin avant inférieur gauche du parallélépipède est placé sur l'origine du repère) :

• [tex]\displaystyle \int_0^H \int_0^P \int_0^L dxdydz[/tex]
  génération de l'arête inférieure avant, puis génération de la face inférieure, puis génération du parallélépipède

• [tex]\displaystyle \int_0^P \int_0^H \int_0^L dxdzdy[/tex]
  génération de l'arête inférieure avant, puis génération de la face avant, puis génération du parallélépipède

• [tex]\displaystyle \int_0^H \int_0^L \int_0^P dydxdz[/tex]
  Génération de l'arrête inférieure gauche, puis génération de la face inférieure, puis génération du parallélépipède

• [tex]\displaystyle \int_0^L \int_0^H \int_0^P dydzdx[/tex]
  Génération de l'arrête inférieure gauche, puis génération de la face gauche, puis génération du parallélépipède

• [tex]\displaystyle \int_0^P \int_0^L \int_0^H dzdxdy[/tex]
  Génération de l'arête avant gauche, puis puis génération de la face avant, puis génération du parallélépipède

• [tex]\displaystyle \int_0^L \int_0^P \int_0^H dzdydx[/tex]
  Génération de l'arête avant gauche, puis génération de la face gauche, puis génération du parallélépipède

L'année dernière, j'ai expliqué le principe à une élève de 4ème : nous réalisions le parallélépipède avec des morceaux de sucre.
Et je suis persuadé qu'on pourrait faire construire des parallélépipèdes selon ces six façons à des enfants de maternelle en utilisant des cubes (sans bien sûr leur dire qu'on les initie aux intégrales triples, sous peine de voir débarquer des parents teigneux menaçant de porter plainte pour "violence intellectuelle sur de jeunes enfants" :-).

Pour ce qui est de l'intégrale triple d'une fonction à trois variables, de telles fonctions ne sont pas représentables graphiquement en une seule vision.
Mais le mode de calcul est identique à celui montré pour les intégrales doubles, si ce n'est qu'il y a un niveau d'imbrication supplémentaire.

A titre d'exercice, je vous propose de calculer l'intégrale suivante :

[tex]\displaystyle \int_0^2 \int_1^3 \int_2^4 (x + xy + xyz)dxdydz[/tex]

La suite suit.

[ suite 1 ]

Reprenons maintenant les exemples, simples mais à réelle portée pédagogique, de l'aire d'un rectangle et du volume d'un parallélépipède.

Pour l'aire d'un rectangle, on peut en premier lieu considérer un rectangle infiniment petit de dimensions $dl \times dh$.
Ce rectangle peut être sommé de deux façons :

• le long de la largeur, ce qui correspond à l'intégrale $ \displaystyle\int_{0}^{L} dh \cdot dl = \bigg[ \: dh \cdot l \: \bigg]_0 ^L = L dh$, qui "trace" le trait de largeur $L$ ;

• le long de la hauteur, ce qui correspond à l'intégrale $ \displaystyle\int_{0}^{H} dl \cdot dh = \bigg[ \: dl \cdot h \: \bigg]_0 ^H = H dl$, qui "trace" le trait de hauteur $H$.

Une fois obtenu le trait horizontal ou le trait vertical, on peut calculer l'aire du rectangle de deux façons, comme évoqué dans mon post précédent :

• en sommant le trait horizontal le long de la hauteur, ce qui correspond à l'intégrale $\displaystyle \int_0 ^H L dh = \bigg [ Lh \bigg]_0 ^H = LH$ ;

• en sommant le trait vertical le long de la largeur, ce qui correspond à l'intégrale $\displaystyle \int_0 ^L H dl = \bigg [ Hl \bigg]_0 ^L = HL $.

Les deux intégrales successives, la première pour obtenir le trait horizontal ou le trait vertical, la seconde pour obtenir l'aire du rectangle, s'écrivent, en les imbriquant (les intégrales doivent être calculées de l'intérieur vers l'extérieur) :

• $\displaystyle \int_0^H \int_0 ^L dl \cdot dh$, qui correspond à la réalisation du trait horizontal, suivie de l'obtention de l'aire du rectangle le long de la hauteur.

• $\displaystyle \int_0^L \int_0 ^H dh \cdot dl$, qui correspond à la réalisation du trait vertical, suivie de l'obtention de l'aire du rectangle le long de la largeur.

Bien évidemment, les deux logiques mènent à la même aire (et pas à la mémère :-).
Ce serait en effet étonnant qu'on obtienne deux valeurs différentes !

Suite au prochain numéro. (Pour réduire la charge d'écriture, pour moi, et de lecture, pour vous, je vais "feuilletonner" mon exposé.)

Bonjour,

Je me sens quelque peu responsable d'avoir proposé l'extension de la notion d'intégrale au-delà du calcul de l'aire sous une courbe, sujet qui apparemment semble vous intéresser, mais qui repousse les murs étroits de la notion d'intégrale telle qu'elle est enseignée en Terminale.

Aussi vais-je développer un peu les éléments qui peuvent vous servir de guide pour la préparation de votre Grand Oral, si vous choisissez ce sujet.

Tout d'abord, c'est le point fondamental, il faut bien comprendre ce que signifie le produit $f(x)dx$ entrant dans l'écriture de l'intégrale.

Voici l'exemple illustratif que je montre à mes élèves : je leur demande de me fournir un livre épais, typiquement un dictionnaire, et trace au crayon une courbe quelconque sur la tranche du livre placé verticalement.
Le produit $f(x)dx$ représente tout simplement l'aire délimitée par la hauteur d'un point de la courbe et l'épaisseur de la feuille. Donc, $f(x)dx$ désigne l'aire d'un rectangle infiniment fin de hauteur $f(x)$ et de largeur $dx$, la lettre $d$ devant une expression signifiant, pour faire simple, une variation infiniment petite de l'expression.

Autrement dit, concrètement, une grandeur physique (aire, volume, mais aussi bien d'autres grandeurs) peut être calculée en tant que somme infinie d'un élément particulier, dont une composante est infiniment petite.

Exemples :

• L'aire d'un rectangle peut être calculée en tant que somme verticale de rectangles horizontaux infiniment fins de largeur $L$ et d'épaisseur $dh$, ou comme somme horizontale de rectangles verticaux infiniment fins de hauteur $H$ et de largeur $dl$.

• Le volume d'un parallélépipède peut être calculé en tant que somme verticale de parallélépipèdes horizontaux infiniment fins d'aire $L \times P$ et d'épaisseur $dh$, ou en tant que somme horizontale de parallélépipèdes infiniment fins d'aire $H \times P$ et d'épaisseur $dl$, $L$ désignant la longueur, $H$ la hauteur, et $P$ la profondeur. (Essayez d'imaginer les variantes possibles : du bas vers le haut, de gauche à droite, d'avant en arrière...)

• L'aire d'un disque de rayon peut être calculée comme étant la somme d'anneaux concentriques infiniment fins de périmètre $2\pi r$ et d'épaisseur $dr$.

• Le volume d'un cylindre peut être calculé en tant que somme de cylindres infiniment fins d'aire $\pi R^2$ et d'épaisseur $dh$.

• Le volume d'une sphère peut être calculé en tant que somme de "pelures d'oignon" infiniment fines d'aire $4 \pi r^2$ et d'épaisseur $dr$.

• Le volume d'un cylindre de révolution peut être calculé en tant que somme de cylindres infiniment fins d'aire $\pi r^2$ et d'épaisseur $dh$. (Il faut alors déterminer $r$ en fonction de la cote $h$ du cylindre.)

Vous voyez que cette logique permet de calculer un grand nombre de grandeurs.
Voir la liste d'exemples d'applications pratiques fournie par ChatGPT que j'ai publiée plus haut dans cette discussion.
Voici aussi celle, plus courte, fournie par Mistral AI :

Vous avez donc un choix important d'exemples concrets ! Choisissez celui ou ceux qui vous conviennent le mieux.

La clé de toutes ces intégrales est de déterminer l'élément de base, dont une des dimensions doit être infiniment petite, qui devra être sommée.

Mon prochain post portera sur l'imbrication, double ou triple, d'intégrales simples.
N'hésitez pas, en attendant, à demander des précisions si quelque chose ne vous semble pas clair.

PS : Toute intervention de la part de nos amis "non lycéens" permettant de m'aider à vous aider sera la bienvenue.  :-)

On peut aussi penser au calcul inverse : connaissant l'altitude et la vitesse de l'avion, et les angles de vision autorisés par le hublot, et ayant chronométré le temps de vision du détail, on peut déterminer la distance de celui-ci par rapport à la trajectoire de l'avion.

Je confirme que le sujet peut être joliment traité en Grand Oral.

Bonjour juju,

Puisque tu as la gentillesse de citer Monsieur Borassus et d'apprécier les sujets qu'il propose :-), Monsieur Borassus te répond dans un premier message.

Voici tout d'abord ce qu'écrit Le Chat Mistral auquel j'ai posé ta question :

Je pense que tu peux creuser la question de la répartition de la chaleur, en te limitant, aussi bien en maths qu'en physique, à ce qui reste dans le cadre de la Terminale.

Concernant le volume, pour un rayon donné, il est effectivement proportionnel à la hauteur.
Par contre, pour une hauteur donnée, il est proportionnel au carré du rayon. Donc si le rayon est multiplié par 2, le volume est multiplié par 4.

Enfin, une casserole ne peut être triangulaire, car un triangle est une surface plane, et donc tu ne peux verser grand chose "dans" un triangle. :-) Il faudrait donc dire "de section triangulaire".

En dehors du volume d'un cylindre obtenu par une intégrale simple, je ne vois pas encore pour l'instant ce qui te permettra d'étoffer ton oral.

Merci, de nouveau, Cailloux,

C'est bien à ce schéma — en moins évolué — que je pensais.

Je perçois néanmoins deux difficultés :

La vitesse de l'avion est déterminée par rapport au sol, à la verticale de celui-ci.
Or le détail qui a attiré mon attention peut se trouver assez loin du projeté orthogonal de la trajectoire sur le sol.
Il faut donc tenir compte de l'angle par rapport à la verticale que fait l'objet avec ma vision.

D'autre part, la trajectoire de l'avion peut ne peut être parallèle à "la trajectoire" de l'objet : par exemple, je peux voir apparaître le détail avec un certain angle par rapport à la verticale, et le voir disparaître avec un angle plus important ; autrement dit, le détail "s'éloigne" de la trajectoire de l'avion.

Bonjour Cailloux,

Tout à fait, merci !

Pour rester dans l'esprit de mes questions, cette question pourrait être :

• [...]

• Les courbes entre deux asymptotes verticales successives semblent continues. Est-ce vraiment le cas ?
  Si ce n'est pas le cas, quels points invisibles sur ces courbes "posent problème" ?
  Comment alors doivent être lues les courbes ?

• Comment réécrire la fonction $f$ pour assurer la continuité aux points déterminés à la question précédente ? La fonction est-elle alors dérivable en ces points ?
  Si oui, quelle y est la valeur de la dérivée ?

• [...]

Bonsoir,

L'extension est très jolie, effectivement !
Merci, Cailloux !

De plus, elle illustre la pauvreté d'un très grand nombre (incommensurable ?) d'exercices d'étude de fonctions qui se terminent pour l'élève par « ET ??? ».
Par exemple, que signifie concrètement le fait que la limite de la fonction en $\pi / 4$ est égale à $-1$ ?

L'exercice pourrait aussi se continuer par la question mise en lumière par Cailloux « Y a-t-il d'autres points similaires sur l'intervalle $\left [- \dfrac {5\pi} 4 ; \dfrac {3\pi} 4 \right]$ ? »

Les études de fonctions seraient beauuuucoup plus intéressantes si elles étaient construites sur la représentation de la fonction, et non sur la formulation de la fonction.

Dans le cas présent, les questions pourraient être, en partant de la courbe :

• Apparemment, la fonction est périodique avec des asymptotes verticales. Confirmez cette double observation.

• Les courbes entre deux asymptotes verticales successives semblent continues. Est-ce vraiment le cas ?
  Si ce n'est pas le cas, quels points invisibles sur ces courbes "posent problème" ?
  Comment alors doivent être lues les courbes ?

• Chaque courbe semble être symétrique par rapport à un point. Quel est ce point ? Quelle est la caractéristique principale de ce point ? Confirmez vos observations par calcul.

• D'autres questions qui vous viendraient à l'esprit ? (Je m'adresse au forum ; il ne s'agit donc pas d'une question posée à l'élève. Mais on pourrait permettre des questions ouvertes : « Observez-vous d'autres caractéristiques que vous pourriez confirmer par calcul ?

Avec de telles questions, on entraîne les élèves à avoir une démarche véritablement analytique : j'observe telle et telle caractéristiques, et je les confirme par calcul — et, donc, je les comprends.

C'est quelque chose qu'un certain nombre de profs devraient intégrer !
Je vois pas mal d'élèves frustrés de se voir barrer une solution juste, mais qui ne correspond pas à ce que le prof impose...
Ils en viennent à craindre le prof.

Pour clore le débat, je dirais que $\dfrac {1 + \sqrt 5} 2$ est une solution simple, facilement mémorisable, d'une équation du seconde degré simple, elle aussi facilement mémorisable.

Que ce nombre soit précisément le nombre d'or n'entre effectivement pas en ligne de compte, car ce n'est pas en tant que tel qu'il est utilisé dans l'exercice.

Je comprends vos objections — enfin ! direz-vous —  et rends donc caduc le point d'interrogation de Roro.

Bonne fin de soirée.

PS : N'abusez pas de l'aspirine, c'est mauvais pour l'estomac.  :-)