Forum de mathématiques - Bibm@th.net

en effet dans l'énoncé il est spécifié:

                                                                    a) les balles se déplacent à la même vitesse constante .

                                                                    b) la première est lâchée d'une hauteur de 5cm  et la seconde un cm au dessus .

ainsi les rebonds avec le retour au sol  seront des distances paires .  20cm , 40cm , 80cm  ....pour la première

                                                                                                                          24cm , 48cm , 96cm ...  pour la seconde

ainsi , lors d'un éventuel atterrissage à un temps:   t  , les deux boules sont sensées avoir parcouru la même distance . Mais c'est irréalisable puisque la première , à chaque atterrissage aura parcouru une distance impaire :  d = 5 + 20 + 40 + 80 +....

tandis que la seconde aura parcouru une distance paire : d = 6 + 24 + 48 + 96 + ...

l'arête mesure 13cm

si je pose x : l'arête de la boite  et c , celle d'un minicube alors j'obtiens le système d'équations:

[tex]x^3 - (x-2c)^3 = 469[/tex]
[tex](x-2c)^3 - (x-4c)^3 = 397[/tex]

soit:
       [tex]6cx^2 - 12c^2x + 8c^3 = 469[/tex] (1)
       [tex]6cx^2 - 36c^2x + 56c^3 = 397[/tex] (2)
donne au final :
                   

[tex]x = \frac{3 + 2c^3}{c^2}[/tex] (3)
puis en reportant cette valeur de x dans l'équation (1) , on obtient l'équation :

[tex]8c^6 -433c^3 + 54 = 0[/tex]  et en posant [tex]c^3 = C[/tex]

[tex]8C^2 - 433C +54 = 0[/tex]  donne C = 0.125 --> c = 0.5 . est la seule racine qui convienne
Avec une arête c = 0.5cm  pour le minicube , on obtient x = 13cm avec l'équation (3)

le côté de la boite cubique mesure 13cm

                                                                                             à plus.

tu vide un tiers du café dans le lait . tu touilles pour rendre le mélange homogène puis tu égalise les carafes à nouveau en effectuant le transfert inverse.

  au bout de n heures , les 2 montres affichent la même heure , avec  720 - 5n  = 3n

ce qui donne 90 heures soit  3 j et 18 h  .

Q1) 90 heures plus tard, il sera donc 14 h et les 2 montres afficheront  18 h 30 min . soit  6 h 30 min sur les montres à aiguilles . Puis  90 heures plus tard elles afficheront 5 h .....

Q2) les 2 montres réafficheront alors  8 h selon un cycle de 30 jours . soit :

    [tex]\frac{90 h \times{12}}{1.5} =720h = 30 j[/tex]   il me semble .

                                                                                                       à plus .

une équation du second degré me donne :

[tex]\frac{\pi}{4}.x^2 + 2500.(1-\pi) = 0[/tex]

me donne  x = 82.56 mm  sauf erreur.

tout d'abord , Dominique ne peut pas répondre et c'est normal  puisque en janvier , mars , avril et juin au moins 2 dates sont proposées pour chacun des mois.
mais comme Dominique affirme que claude , lui aussi est dans l'incapacité de conclure , alors on oublie tout de suite les deux mois  janvier &  mars qui n'ont pu être communiqués à Dominique  . Et camille n'a pu  souffler dans l'oreille de claude  ni le 27 ni le 28 qui sont uniques dans les listes .
suite à la première réponse de Dominique , claude peut donner la réponse , puisqu'il peut supprimer à son tour janvier et mars.Il  visionne les 5 dates restantes : 19 & 22 avril  puis  20 , 21 & 22 juin . 
Maintenant , camille ne peut pas lui avoir soufflé le 22 , car si cela avait été le cas , claude était incapable de répondre . camille n'a pu lui souffler que 19 , 20 ou 21 . qui sont uniques dans la liste restante .Dominique , connaissant le mois , en déduit aussi la date . Cela ne peut être qu'aujourd'hui  19 avril ; puisqu'il restait encore 2 jours en juin  , camille n'a pas pu lui souffler "juin "

EF = 260    .   

Démonstration:

Les 2 triangles MBC  et  FHC  sont semblables .   et  MA = MB = 120 

H étant milieu de MC  , alors   :

[tex]MC = \sqrt{120^2 + 288^2} = 312[/tex]  et MH = HC = 156

[tex]\frac{HF}{HC} = \frac{MB}{BC} \Rightarrow HF = 65[/tex]

Calcul de AE  :     on pose  AE = X  .  Alors ED = 288 - x     . puis en utilisant Pythagore dans les triangles MAE  & EDC  , comme ME = CE .   

On obtient  : 
                             [tex]x = \frac{240^2 + 288^2 - 120^2}{576} = 219[/tex]

et   [tex]EH = \sqrt{120^2 + 219^2 - 156^2} = 195[/tex]

EF  = EH + FH =  195 + 65 = 260

  est instituteur puisque andréa ne peut être qu'architecte puisque chacun des métiers ne sont pas respectivement à leur place

pour rembourser un euro , soit l'équivalent de 5 pièces de 20 centimes en utilisant les 3 types de pièces je peux payer comme ça :

  1  façon de payer avec  4 pièces de 20  ct   

                                                                              + 1 pièce de 10   +    2 pièces de 5

  3 façons de payer avec 3 pièces de 20 ct

                                                                              +  3 pièces de 10  +  2 pièces de 5

                                                                              +  2 pièces de 10  +  4 pièces de 5

                                                                              +  1 pièce de 10    +  6 pièces de 5

  5 façons de payer avec 2 pièces de 20 ct

                                                                              +  5 pièces de 10  +  2 pièces de 5

                                                                              +  4 pièces de 10  +  4 pièces de 5

                                                                              +  3 pièces de 10    +  6 pièces de 5

                                                                              +  2 pièces de 10  +  8 pièces de 5

                                                                              +  1 pièce de 10   +  10 pièces de 5

  7 façons de payer avec 1 pièce de 20 ct

                                                                              +  7 pièces de 10  +  2 pièces de 5

                                                                              +  6 pièces de 10  +  4 pièces de 5

                                                                              +  5 pièces de 10   +  6 pièces de 5

                                                                              +  4 pièces de 10   +  8 pièces de 5

                                                                              +  3 pièces de 10  +  10 pièces de 5

                                                                              +  2 pièces de 10  +  12 pièces de 5

                                                                              +  1 pièce de 10    +  14 pièces de 5

soit au total  1+3+5+7  = 16  = 4²   pour une somme dûe égale à  5 fois 20 ct 

mais il est demandé une somme avec laquelle on aurait 10000 possibilités de payer .

donc  [tex]  (n-1)^2 = 10000 \Rightarrow n=101 [/tex]  .

la somme à payer est égale à  101 x 0.20 = 20.20 euros  si je n'ai rien oublié en route.

En plaçant le plus petit multiple commun de 12,15,16 &20 dans chacun des 4 grands paniers ,c'est à dire 240 bonbons, on ne laisse aucun bonbon dans chacun des 4 paniers ;

et on remplit   20 + 16 + 15 + 12 = 63 sacs de bonbons. il y a donc un sac de trop .

il faut donc en enlever n dans chacun des paniers  , donc 4n au total. Alors on peut dire qu'il y aura un sac de 12 bonbons en moins . et comme on a retiré 4n bonbons,

4n = 12  -->  n=3   .  conclusion:  il y a 237 bonbons par panier.

au début j'ai regardé l'arithmétique de la chose.
j'ai compté le nombre d'itérations nécessaires pour arriver à la constante de  Kaprekar (6174) . Et ça ne fonctionnait pas sur tous les nombres  avant l'erreur . 1399 = 2  ça ne marchait pas , puis ça collait après correction mais  pas pour 2345 =0 (3 itérations)..
alors j'ai abandonné l'arithmétique et me suis penché sur le graphisme , notamment la topologie des caractères.

les chiffres 0 , 6 , 8 & 9  découpés dans un morceau de carton sont homéomorphes à un rond de serviette ou une chambre à air .
alors que les autres 1 , 2 , 3 , 4 , 5 & 7 sont homéomorphes à une sphère ( boule de pétanque par exemple )
si bien que  0 = 1 , 8 = 2  ,  7 = 0   .
                                                              1111 = 2222 = 3333 = 0 par exemple.