Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Il faudrait que tu indiques un peu plus ce qui te pose problème.

Comme je n'ai pas le livre, je ne vois pas non plus !

Oui, c'est bien ça : si $P\implies Q$ et $Q\implies P$ alors $P \Leftrightarrow Q$.
En mots : si, quand on a $P$ on a $Q$ et quand on a $Q$ on a $P$, alors il est équivalent d'avoir $P$ ou $Q$.

Pour ta question sur la dérivée, Je préfère laisser des personnes plus qualifiées que moi pour te donner une réponse "compatible" avec ton programme (yoshi, tibo ?), je risque de t'embrouiller avec des considérations qui ne ont pas nécessaires.

C'est la même chose que tu aurais obtenue en appliquant Thalès !
Il te manque une précision importante : $0 < p < k$ et $0 < q < n$ (il s'agit du segment ouvert $(OA_k)$).
Tu peux écrire ta relation comme $\dfrac{k}{n}=\dfrac{p}{q}$. La fraction $\dfrac{k}{n}$ est donc réductible ...

Salut Freddy,
C'est vrai qu'Internet constitue un véritable trésor pour celui qui veut apprendre. Mais je pense, comme tu le soulignes, qu'il peut devenir un redoutable pousse à la fainéantise !
Un des mes enfants, à qui je proposais de m'observer pendant que je réparais mon vélo, m'a dit : ça ne sert à rien, le jour où j'en aurais besoin, je trouverais sur Youtube comment faire !

Bonjour,
Si tu dessines le triangle $OA_0A_k$ et que tu supposes qu'il existe un point $M$ de coordonnées entières $(p,q)$ sur le segment $(OA_k)$, alors, à l'aide de Thalès, tu dois pouvoir exprimer des relations intéressantes entre les différentes quantités $n,k,p$ et $q$.

Je reviens d'abord sur la réponse "$p$ depend de $K$", qui, même si c'est correct, n'a en réalité pas beaucoup de sens. Je donne un exemple :
$\forall x, \exists y, \exists z Prop(x,y,z)$ où $Prop(x,y,z)$ est une propriété quelconque. Ici, se poser la question "est-ce que $z$ dépend de $y$ n'a pas beaucoup de sens. La seule affirmation correcte est que $y$ et $z$ dépendent de $x$ (c'est $x$ qui peut "varier").
D'ailleurs, l'assertion en question s'écrir également de manière équivalente comme  $\forall x, \exists z, \exists y Prop(x,y,z)$ (inversion $y$ et $z$) : la règle étant, si tu as deux quantificateurs de même nature qui se suivent, tu peux échanger l'ordre $\forall x\forall y$ et la même chose que $\forall y\forall x$, idem avec $\exists$. Par contre, si les quantificateurs sont différents, tu ne peux pas le faire : $\forall x\exists y$ et complètement différent de $\exists y \forall x$

Il est donc absolument important que tu fasses attention aux quantificateurs des différentes assertions que tu écris.

Ce qu'on vient de montrer, c'est la propriété suivante :
(a) $\forall T \in \mathcal{E}', \exists K \subset \subset \Omega, \exists p \in \mathbb{N}, \exists C \in \mathbb{R}_+, \forall f  \in C^\infty(\Omega), |\langle T,f\rangle| \le C P_{K,p}(f)$
où je note $K \subset \subset \Omega$ pour "$K$ compact inclut dans $\Omega$".
Il faut bien noter les quantificateurs de $K$, $p$ et $C$ et il faut également noter que la fonction $f$ est dans $C^\infty(\Omega)$ (elle n'est pas forcément à support compact).

Pour l'ordre de la distribution, tu dois montrer autre chose :
(b) $\forall T \in \mathcal{E}', \exists p \in \mathbb{N}, \forall L \subset \subset \Omega, \exists C \in \mathbb{R}_+, \forall \varphi  \in \mathcal{D}_L(\Omega), |\langle T,f\rangle| \le C P_{L,p}(\varphi)$

Cette assertion est complètement différente, les quantificateurs sont différents (pour le compact que j'ai noté $L$ pour plus de clarté), et la fonction $\varphi$ est a support compact dans $L$.

Bien sûr, ce que ton cours te dit, c'est que (a) $\implies$ (b).

J'anticipe ta question suivante : comment on fait pour démontrer ça
Je réponds : travaille un peu !!

Je ne vois ce qu'est $K_0$.

Pour ton autre question, non, ce n'est pas correct. Il faut dire : pour toute distribution $T \in \mathcal{E}'$, il existe un compact $K$ tel que pour toute fonction $\varphi \in C^\infty$, bla bla.

Conre-exemple de ce que tu dis :
$T = \delta_0$. On a alors $supp(T)=\{0\}$.
Je prends $K=[2,3]$ et $\varphi$ telle que $supp(\varphi)=[-1,1]$ et telle que $\varphi(0)=1$ (une telle fonction existe). Alors, $\varphi$ et toutes ses dérivées sont nulles sur $K$, donc $P_{K,m}(\varphi)=0$ pour tout $m$. Et pourtant $|\langle T,\varphi \rangle | = \varphi(0) > CP_{K,m}(\varphi)$ pour toute constante $C \le 0$.

Je l'ai dit juste avant !!!
Je le redis :
On doit choisir $\chi$ qui vaut $1$ sur un voisinage du support de $supp(T)$ (Pour montrer que l'extension aux fonctions $C^\infty$ ne dépend pas du choix de $\chi$, on a besoin de dire que si $\chi1-\chi2 = 0$ sur un voisinage de $supp(T)$, alors $<T,\chi1\varphi>=<T,\chi2\varphi>$. Si on se contente de $\chi$ égale à $1$ sur $supp(T)$, on a un problème, cf le contre-exemple).
Donc, si $V$ est un voisinage de $supp(T)$, alors l'inclusion est stricte : $supp(T) \varsubsetneq V$ ($V$ contient un ouvert qui contient $supp(T)$ et $supp(T)$ est un fermé).

Et si $\chi$ vaut $1$ sur $V$, par définition du support, $V \subset supp(\chi)$.

Encore une coquille !
J'imagine que ta question est : Est-ce que $T=\delta'$ ou bien $T=-\delta'$ (tu as oublié le 'prime')
Ce n'est pas très important, les deux sont des contre-exemples.

Coquille : $\langle \delta',\varphi\rangle= -\varphi'(0)$

Incompréhensible !
C'est quoi ce concept de 'la fonction qui définit une distribution'
Et en admettant que ça existe, que veut dire "la fonction $f$ est au point $\{0\}$"

Ici, ce qu'on veut montrer, c'est que pour une fonction à support compact, il ne suffit pas qu'elle s'annule sur le support de $T$ pour avoir $<T,\varphi>=0$ mais il faut qu'elle s'annule sur un voisinage du support de $T$. Et en plus, on veut juste exhiber un contre-exemple. Donc, une fonction à support compact est en particulier une fonction $C^\infty$.

Je ne vois pas trop où on ajoute cette contrainte.
Si on l'ajoute, ça voudra dire que le support de $\varphi$ est compact (fermé inclut dans un compact) et on n'aura rien gagné de plus par rapport aux fonctions test normales.

Comme je ne vois pas trop où tu as vus le premier point, je ne peux pas répondre à ce second point.

Comme je te l'ai indiqué sur d'autres posts, tu ne fais pas attention à ce que tu écris !
exemple :

Tu n'as qu'à poser $C'=C$ !
Bien sûr, ce n'est pas aussi simple, tu as fais une erreur une ligne plus haut en écrivant $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$ au lieu de $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\chi\varphi)$

Il y a deux points importants dans la démonstration :
1- définir correctement le compact $K$ sur lequel la définition de continuité sera vérifiée.
Il faut d'abord bien noter la différence avec la condition de continuité "standard" d'une distribution :

Alors qu'ici, on dit

Ce qui est plus faible.

On va donc choisir le compact $K$ suffisamment grand pour qu'il contienne un ouvert qui contient $Supp(T)$ (on a besoin de définir la fonction plateau égale à $1$ sur un voisinage contenant $Supp(T)$) et borné, pour que ce soit un compact.

2- Comme tu l'a écris, on a $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\chi\varphi)$. La seule difficulté est de montrer qu'il existe une constante $\alpha$ telle que $P_{K,m}(\chi\varphi) \le \alpha P_{K,m}(\varphi)$. Ce qui s'obtient sans difficulté en utilisant la formule de Leibnitz.