Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Avec Gemini de Google :

En passant, on notera quand même la formule :

qui obtient bien 16*3 + 1 = 49 mégots, donc tout le mérite lui revient.

Bonsoir,

Si on considère qu'une jeune fille normale marche à environ 5 km/h, cela nous donne une vitesse moyenne de 15 km/h pour la maman sur le même tronçon. Les zones 30 se multipliant, il suffit d’un feu ou deux pour rendre la chose plausible, surtout dans les zones scolaires à l’heure où les parents viennent chercher leurs enfants, certains s’arrêtant parfois n’importe comment...

Oui, je comprends. Maintenant, pas sûr que ce genre de casse-tête ait à convaincre des élèves, à mon avis ils sont là pour aiguiser notre curiosité, et j'ai trouvé celui-ci particulièrement élégant.

(repris de « Haha ou l'éclair de la compréhension mathématique » de Martin Gardner)

Bonsoir,

Pour moi c’est une projection plane toute simple. À partir de la position de l’observateur (on va dire 900 km/h et 10 km d’altitude) on projette la forme verticale du hublot sur le plan horizontal du sol dix kilomètres plus bas. Si je tiens compte du retrait de l’observateur et l’épaisseur des montants, je dirais qu’en se déplaçant au mieux l’angle de vision devrait être de l’ordre de 120°. De là j’ai une limite verticale et deux limites horizontales.

Vu de dos, si je considère l’avion et le sol, j’ai un triangle rectangle dont le côté vertical fait 10 km et dont l’angle avec l’avion fait 30°. La distance au sol est d’un peu moins de six kilomètres (hauteur.tan(Pi/6)) et les détail en dessous de l’avion ne seront pas visibles.

Vu de dessus, j’ai un angle de 120° et une droite qui est la projection de la limite basse du hublot. Comme on retrouve un triangle identique à celui de l’altitude, l’angle de vision est donc de vingt kilomètres au plus proche. Les détails se déplacent en sens contraire à l’avion à la même vitesse.

La zone verte est la zone visible. Au plus proche, les vingt kilomètres sont parcourus en quatre-vingt secondes. Au delà c’est simplement proportionnel, deux fois plus loin = visible deux fois plus longtemps. On peut évidement mettre l’avion plus haut (12 km = 96 secondes au minimum), le faire voler plus vite, etc.

Bonsoir,

Ah oui, intéressant.

On va dire que l’héritage c’est l’unité de base. Et on va commencer par la fin, la clause qui répartit en proportion inverse du nombre de bœufs. On a 1/9, 1/7 et 1/4 d’une certaine somme que je vais appeler x telle que l’addition des trois répartitions doit correspondre à l’héritage tout entier, donc 1.

x/9+x/7+x/4 = 1
x(1/9+1/7+1/4) = 1
x = 1/(1/9+1/7+1/4)
x = 1/(127/252)
x = 252/127

Si cette clause était seule, Amadou devrait toucher 28/127e de l’héritage, Bouba devrait recevoir 36/127e de l’héritage et Cadir devrait obtenir 63/127e de l’héritage.

Maintenant abordons la première clause, la répartition réelle qui a eu lieu en fonction de l’âge. Comme la somme des trois âges fait exactement cent et comme la deuxième clause a été oubliée, on peut dire qu’en réalité Amadou a reçu 45/100e de l’héritage, Bouba en a reçu 35/100e et il est resté 20/100e de l’héritage à Cadir.

Ok, maintenant comment interpréter la clause « répartition 1 » ET « répartition 2 » ? Le plus simple, c’est de faire la moyenne des deux, comme ça chacun aura à la fois une part dépendant de son âge et une part dépendant du nombre de ses bœufs, et on obtient une répartition plus conforme aux souhaits des trois frères.

Ce qui fait qu’Amadou aurait plutôt dû recevoir (28/127+45/100)/2 = 1703/5080e de l’héritage,  Bouba (36/127+35/100)/2 = 1609/5080e et Cadir (63/127+20/100)/2 = 1768/5080e.

Il n’y a pas de doute, Amadou et Bouba ont bel et bien touché en trop. Pour Amadou c’est 45/100-1703/5080 = 583/5080e en trop, et pour Bouba c’est 35/100-1609/5080 = 169/5080e en trop, soit en tout 752/5080e, c’est-à-dire un excès qui n’avait pas lieu d’être et qui d’après l’énoncé vaut huit millions de francs CFA.

Montant de l’héritage total ? 8000000/752*5080 = 54 042 553,20 FCFA.

Amadou récupérait 18 117 021,28 FCFA
Bouba aurait eu 17 117 021,28 FCFA
Cadir terminait avec 18 808 510,64 FCFA

Bonsoir,

Pour appréhender ce que représente une démultiplication d’un facteur 250, on peut imaginer une tige de 2,50 m sur une table en laissant un seul cm dépasser, et essayer d’en décoller l’autre extrémité en appuyant sur ce seul centimètre, l’arête du bord faisant pivot.

L’avantage d’un engrenage, c’est sa compacité et sa résistance. Le problème, ce sont les résistances induites. Moi je dis faut essayer. Entre des roues dentées hautes performances usinées dans un atelier spécialisé et montées sur roulement à bille de précision et des pièces en plastique grossièrement imprimées chez soi et sur simples paliers, en terme d’efficacité c’est le jour et la nuit.

Bonjour,

Perso je ramène cela à un équivalent force/distance, rien d'autre. Ça marche pour les leviers, pour les poulies, pour les engrenages.

Donc si dans ce réducteur le rapport de démultiplication est par exemple de dix, c'est-à-dire que dix tours en entrée aboutissent à un tour en sortie, à diamètre égal l'extérieur de l'axe en sortie parcourra dix fois moins de distance que l'extérieur de l'axe en entrée, donc développera dix fois plus de force.

Après on s'amuse : en entrée je mets une manivelle à vingt centimètres de l'axe, en sortie l'axe fait quatre centimètre de diamètre et j'y enroule une corde, alors avec 10 kg en entrée je soulèverai une tonne.

10 kg -> réducteur 10x -> 100 kg -> rapport des diamètres 10x -> 1000 kg.

Dans la vraie vie ça ne marche pas du tout comme ça. D'une part faut déjà trouver comment fixer le truc, parce qu'une tonne sur quelques points de fixation crac. D'autre part chaque palier, roulement, denture en contact va consommer de l'énergie. Enfin selon le lubrifiant, la température, les masses internes, le collage au départ et les inerties mises en jeu, cela va être nettement plus compliqué surtout au démarrage, d'où certains bricolages complètement dans les choux alors qu'en théorie cela devait marcher.

Bonsoir,

C’est toujours bien de le savoir, mais je ne pense pas que cela soit bien nécessaire dans la mesure où avec WolframAlpha la fonction ${sgn()}$ marche déjà très bien : elle sort directement ${-1 / 0 / 1}$ en fonction de valeurs négatives / nulles / positives sans avoir besoin ni d’initialisation, ni de formule.

Ceci dit, depuis nos échanges je me suis penché sur la fonction ${sgn()}$ telle que la présente Wikipédia. D’une part je suis content d’avoir trouvé tout seul la formule ${\Large{\frac { \left| x \right| }{x}}}$ et d’autre part j’ai testé la fonction ${\Large{\frac {{{\rm e}^{100\,x}}-1}{{{\rm e}^{100\,x}}+1}}}$ qui sur ce problème donne le signe exact même en quadruple précision, et cela sans avoir à faire d’exception sur ${x}$.

Bonjour Wiwaxia,

Cool. Je ne savais pas qu'on pouvait écrire des fonctions avec des si. Dans ce cas autant définir directement la fonction sgn(x) = -1 si x <0 et 1 sinon, non ? D'autant que j’ai l’impression que WolframAlpha est capable de gérer le truc sans problème, exemple.

La suite.

Pour aller plus loin, une fois un parcours valide obtenu je décide de tester systématiquement tous les échanges possibles des maisons deux à deux et d’appliquer celui avec le meilleur gain. En recommençant sur le parcours ainsi amélioré jusqu’à stagnation avant nouveau tirage, un autre bond considérable puisque j’arrive cette fois à la trentaine de maisons - à condition d’user de tous les processeurs et de laisser tourner quelques heures quand même - au delà c’est mort.

À force d’y penser jour après jour, une nouvelle idée me vient. Les parcours les plus courts commencent tous par 1-4-5-...-… et ils se terminent tous par ...-6-3-2. Je me dis que je pourrais peut-être forcer ces positions et ne tirer au hasard que les maisons du centre, ce qui me ramènerait à des configurations plus efficaces. Et là pof, magique, cinquante, cent, deux cents, cinq cents maisons, les résultats sortent en quelques dizaines de secondes pour les plus grands nombres, plus aucune limite, le bonheur.

Après analyse, la config’ est toujours la suivante :

ce qui donne deux parcours pour le plus court grâce à la symétrie haut/bas sur la terminaison.

À partir de là il est donc facile d'en tirer une formule générale.

Allez, la genèse du truc. Un peu long mais faut ce qu’il faut.

Au départ, je suis un adepte des simulations, je tire donc des parcours au hasard, calcule la distance et ne retiens que les plus courts, en vérifiant qu’ils soient valides. Pour le tirage, je mélange simplement l’ordre du tirage précédent, ça va super vite. Pour les distances je calcule un tableau préalable avec marquage à zéro des impossibilités (même parité et vis-à-vis), ce qui fait qu’en une seule consultation j’obtiens soit la distance de la liaison, soit l’impossibilité du parcours tout entier. Avec ça et en forçant la maison 1 à la première place pour ne pas perdre de temps avec d’autres points de départ (je voulais savoir s’il y avait plus court en partant d’ailleurs, la réponse est non) le résultat est quasi immédiat. Par contre cela devient difficile quand le nombre de maisons augmente, avec une limite pratique pour atteindre les seize maisons...

C’est normal. Tirer les parcours au petit bonheur la chance, c’est avoir de moins en moins de dispositions qui respectent les contraintes et finir par passer tout son temps à éliminer les parcours interdits.

Bonsoir tout le monde,

En me relisant je m’aperçois que j’aurais plutôt dû écrire que la fonction renvoyait une valeur correspondant au nouveau score en tenant compte de la règle du jeu vu que S en lui-même conserve sa valeur, mais bon, l’essentiel me semblait être de trouver la formule qui allait bien.

Ma démarche a été d’abord de savoir comment trouver le signe du score et également de x. En informatique on a une fonction dédiée souvent appelée SGN mais en mathématiques je n’en connais pas. Ensuite elle a été de trouver comment garder le score ou l’annuler en fonction de ces signes. Si je le garde on ajoute x vu que c’est de même signe, et si on l’annule on ajoute x aussi puisqu’il est de signe contraire – et donc on passe à l’unité de l’autre côté du zéro, donc dans tous les cas on ajoute x.

Restait à trouver comment garder ou annuler. Et là je me suis dit que ça marchait avec un score divisé par deux suivi d'un signe + ou - devant le score lui aussi divisé par deux. Soit j'ajoute les deux et j'obtiens bien le score originel, soit je retire le deuxième au premier et comme c'est la même chose il se retrouve à zéro.

Voili voilou.