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#251 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 03-07-2014 21:07:54
Re-Bonsoir,
Je n'ai pas trouvé comment arrêter (sortir de l’exécution) quand on veut terminer depuis une boucle for imbriquée...
Ce pourquoi j'ai utilisé une procédure def car le return fonctionne alors !
Je reprends la constatation
Si la comparaison if g*g==yc2*ym2: se fait sur des flottants, il suffit qu'une 15ème décimale soit différente (!!!) pour faire échouer ce qui serait vrai entre entiers
Cordialement : totomm
#252 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 03-07-2014 20:58:15
Bonsoir,
J'ai vu dès la 2ème ligne : AC2 = AC**2
AC2 va être un nombre flottant. il faut AC2=AC*AC pour que AC2 soit un nombre entier...
Voici mon code qui donne (Pyton 3.2) exactement les mêmes 1001 triangles que le programme en Visual Basic
mais en Python il met environ 23 minutes (idle GUI sous Windows, interprété), sans créer de fichier,
alors que Vb (compilé et sous debugger) met moins de 3 minutes (en créant aussi un fichier en plus de l'affichage console
def trianglesEntiers():
nombre, max=0,121
for ac in range(1,max):
ac2=ac*ac
for bc in range(ac+1,max+1):
bc2=bc*bc
for ab in range(bc+1,ac+bc-1):
ab2=ab*ab
for am in range(1,ab-1):
am2=am*am
for bm in range(ab-am+1,max):
bm2=bm*bm
xc = (ac2+ab2-bc2)/(2*ab)
yc = sqrt(ac2-xc**2)
xm = (am2+ab2-bm2)/(2*ab)
ym = sqrt(am2-xm**2)
if ym*xc-(xm*yc)+0.001 < 0 and ym * (xc-ab)-(yc*(xm-ab))-0.001 > 0:
#M est intérieur
cmd=sqrt((xm - xc) ** 2 + (ym - yc) ** 2)
cm=int(cmd+0.000000001)
if abs(cm-cmd)<0.000001:
#recalcul avec entiers
xcl=ac2+ab2-bc2
xml=am2+ab2-bm2
yc2=4*ab2*ac2-(xcl*xcl)
ym2=4*ab2*am2-(xml*xml)
g=2*ab2*(ac2+am2-(cm*cm))-((ab2+am2-bm2)*(ac2+ab2-bc2))
if g*g==yc2*ym2:
nombre+=1
print("N°",nombre," :",ac,bc,ab,am,bm,cm)
if nombre==1001:
return
else:
break
trianglesEntiers()
#253 Re : Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 03-07-2014 18:33:19
Bonsoir,
@ yoshi : Que c'est difficile de ne pas transmettre les bugs initiaux des programmes !!
J'ai eu aussi ce bug sur sqrt d'une valeur négative parce que BM croit jusqu'à Max.
Pourtant j'y avais pensé dès que j'ai commencé à écrire le programme, mais j'ai oublié de transmettre ce que j'avais aouté :
else
exit for ' dès que M est extérieur
juste avant le dernier "end if" qui précède les "next".
Cela empèche BM de progresser et renvoie au AM suivant, xm ne peut plus être < 0 : je viens de l'insérer au post #1
Les 1001 triangles sont calculés en 2 mn 57s et non 14 min 57 s.
Sauf nouvel oubli. Cordialement : totomm
#254 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 02-07-2014 14:03:18
Bonjour,
Le code de recherche (force brute !!!) est dans le sous-forum "Programmation"
Pour ne pas conclure sans signaler que certains triangles ont 2 points intérieurs à distance entières des 3 sommets,
et que 2 triangles parmi les 1000 numéros en ont même 3 :
N° AC BC AB AM BM CM
N° 93 : 32 76 88 24 68 16
N° 94 : 32 76 88 31 68 9
N° 250 : 47 91 96 17 83 34
N° 251 : 47 91 96 38 62 36
N° 299 : 50 114 116 33 85 43
N° 300 : 50 114 116 37 103 17
N° 331 : 52 120 128 24 112 32
N° 332 : 52 120 128 52 84 39
N° 397 : 58 61 84 46 52 17
N° 398 : 58 61 84 48 48 19
N° 401 : 58 76 108 34 79 27
N° 402 : 58 76 108 50 67 17
N° 418 : 59 76 108 54 72 8
N° 419 : 59 76 108 57 66 12
N° 426 : 60 64 76 38 57 23
N° 427 : 60 64 76 56 22 46
N° 443 : 60 92 128 48 88 18
N° 444 : 60 92 128 55 87 10
N° 499 : 63 98 119 45 76 42
N° 500 : 63 98 119 62 71 29
N° 529 : 64 112 132 55 88 31
N° 530 : 64 112 132 62 95 18
N° 544 : 65 75 100 49 61 26
N° 545 : 65 75 100 50 70 17
N° 557 : 65 117 130 44 90 45
N° 558 : 65 117 130 50 100 25
N° 559 : 65 117 130 57 79 46
N° 605 : 68 92 96 33 69 46
N° 606 : 68 92 96 51 63 34
N° 607 : 68 92 96 57 51 44
N° 641 : 70 85 95 41 56 51
N° 642 : 70 85 95 58 43 48
N° 718 : 75 100 125 36 91 51
N° 719 : 75 100 125 78 53 51
N° 733 : 76 78 119 57 64 38
N° 734 : 76 78 119 68 68 16
N° 768 : 77 120 133 49 91 49
N° 769 : 77 120 133 57 95 35
N° 786 : 78 120 126 50 104 32
N° 787 : 78 120 126 65 65 65
N° 847 : 84 92 113 19 96 68
N° 848 : 84 92 113 52 69 46
N° 870 : 84 120 126 49 98 42
N° 871 : 84 120 126 64 70 60
N° 872 : 84 121 125 48 83 60
N° 873 : 84 121 125 65 70 59
N° 914 : 87 99 108 66 86 23
N° 915 : 87 99 108 73 61 40
N° 941 : 88 120 128 65 67 68
N° 942 : 88 120 128 78 106 16
N° 944 : 88 121 143 59 92 51
N° 945 : 88 121 143 74 93 34
N° 990 : 92 121 125 51 88 55
N° 991 : 92 121 125 60 95 40
N° 999 : 94 99 145 57 102 39
N° 1000 : 94 99 145 90 85 16
Bonne continuation...
#255 Programmation » Triangles ayant un point intérieur à distance entière des sommets » 02-07-2014 13:55:09
- totomm
- Réponses : 269
Bonjour,
Il s'agit de triangles à cotés entiers (Suite à discussion initiée par 0^0 dans le forum "Enigmes").
le sommet A est à l'origine des coordonnées et [AB], le plus grand coté, sur l'axe des abscisses.
Ce code est adaptable pour des triangles non-scalènes.
Le langage choisi est un langage strictement typé pour assurer que certains calculs se font bien sur des entiers.
Programme pour déterminer les triangles scalènes de cotés entiers possédant au moins un point M à distance entière de chaque sommet..
Le programme est un module (.vb) dans Visual Basic express 2010
L' option "Strict On" garantit que les calculs sur entiers Long dans la partie "recalcul sur entiers" s'effectuent bien sur des "Long" sans aucune introduction de décimales.
Voir() est une procédure (non donnée) de création simultanée de fichier en plus de l'affichage sur console.
Option Explicit On
Option Strict On
Imports System.Math
Module TrianglesEntiers_M
Sub TrianglesEntiers()
Dim nombre As Integer = 0
Dim Max As Long = 120
Dim CM, Yc2, Ym2 As Long
Dim xc, yc, xm, ym As Double
For AC As Long = 1 To Max
Dim AC2 As Long = AC * AC
For BC As Long = AC + 1 To Max + 1
Dim BC2 As Long = BC * BC
For AB As Long = BC + 1 To AC + BC - 1
Dim AB2 As Long = AB * AB
For AM As Long = 1 To AB - 1
Dim AM2 As Long = AM * AM
For BM As Long = AB - AM + 1 To Max
Dim BM2 As Long = BM * BM
xc = (AC2 + AB2 - BC2) / (2 * AB)
yc = Sqrt(AC2 - xc ^ 2)
xm = (AM2 + AB2 - BM2) / (2 * AB)
ym = Sqrt(AM2 - xm ^ 2)
If ym * xc - (xm * yc) + 0.001 < 0 And ym * (xc - AB) - (yc * (xm - AB)) - 0.001 > 0 Then
'M est intérieur
Dim CMd As Double = Sqrt((xm - xc) ^ 2 + (ym - yc) ^ 2)
CM = CInt(CMd + 0.000000001)
If Abs(CM - CMd) < 0.000001 Then
' recalcul sur entiers
Dim xcL, xmL As Long
xcL = AC2 + AB2 - BC2
xmL = AM2 + AB2 - BM2
Yc2 = 4 * AB2 * AC2 - (xcL * xcL) '4*AB*AB*yc*yc
Ym2 = 4 * AB2 * AM2 - (xmL * xmL) '4*AB*AB*ym*ym
Dim G As Long = 2 * AB2 * (AC2 + AM2 - (CM * CM)) - ((AB2 + AM2 - BM2) * (AC2 + AB2 - BC2))
If G * G = Yc2 * Ym2 Then
nombre += 1
Voir("N° " & nombre & " : " & AC & " " & BC & " " & AB & " " & AM & " " & BM & " " & CM)
If nombre = 1001 Then Exit Sub
End If
End If
else
exit for ' dès que M est extérieur
End If
Next
Next
Next
Next
Next
End Sub 'TrianglesEntiers()
End Module
#256 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 01-07-2014 18:02:16
Bonsoir,
Il faut m'envoyer un mail par bibmath en premier car je ne peux mettre une pièce jointe sinon.
Ensuite j'aurai l'adresse Mail où envoyer mon fichier.
Fichier envoyé sur E-Mail yahoo 21h40
#257 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 01-07-2014 16:50:29
Bonjour,
@ 0^0 : Il est temps de faire un point d'avancement :
J'ai relevé ce qui me paraissait un bon "challenge", mais les triangles à cotés entiers ne sont pas dans mes centres d'intérêts majeurs.
Je peux conseiller sur une façon de programmer,
Je peux débloquer sur un point particulier qui serait dans mes compétences,
Par contre
Je n'ai pas vocation à faire un cours sur la représentation des nombres dans un ordinateur, sur le traitement en nombres entiers ou en nombres flottants.
Le classement des triangles et les notions de 'grandeur' et d' 'étirement' ne m'attirent pas vraiment.
En souhait de bonne continuation, voici les derniers triangles que j'ai calculés :
N° AB BC AB AM BM CM
N° 991 : 92 121 125 60 95 40
N° 992 : 93 98 170 89 84 28
N° 993 : 93 102 156 89 80 28
N° 994 : 93 108 111 60 54 72
N° 995 : 93 116 121 51 92 48
N° 996 : 93 117 120 52 92 47
N° 997 : 93 120 148 72 80 60
N° 998 : 93 120 162 95 86 36
N° 999 : 94 99 145 57 102 39
N° 1000 : 94 99 145 90 85 16
N° 1001 : 94 103 141 68 95 30
Cordialement : totomm
#258 Re : Programmation » Droites tangentes à une courbe » 01-07-2014 16:22:47
La parabole serait une section plane d'un cône ? Ayant étudié les sections planes en classe, cela m'a surpris !
Ellipses et hyperboles peuvent aussi être vues comme sections planes de cônes !! Tu n'as pas fini d'être surpris !
Tu peux piocher au hasard sur internet, mais ce n'est pas forcément la bonne méthode pour bien structurer une pensée mathématique.
Le mieux est sans doute de suivre une progression sur un sujet qui t'intéresse dans un ouvrage bien écrit.
Yoshi est surement un bon conseil sur la façon de bien progresser...
#259 Re : Programmation » Droites tangentes à une courbe » 30-06-2014 17:19:06
Bonsoir,
Attention jeune et fougueux lambda : La facilité fait écrire des âneries.
Toujours vérifier et ré-vérifier ce que l'on a écrit, si possible par une méthode différente
Qu'est ce l à droite qui a perdu son carré ?
#260 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 30-06-2014 14:41:45
Bonjour,
Voilà qui ressemble à un test de pasSiNulenMaths ! d=7.000000085736745
facile pour les logiciels qui calculent avec 15 chiffres significatifs.
J'ai 1000 triangles scalènes en 14 min 57 s. avec mon simple programme pour trouver des triangles scalènes adéquats, que j'ai écrit pour la circonstance. Je ne connaissais pas le site WIMS et ne l'ai pas pratiqué.
Et justement le triangle 22, 27, 30 ne figure pas dans ma liste des 1000...
Mon programme recalcule "strictement" avec des entiers pour toute valeur candidate des "d", donc aucune décimale ne peut se loger dans mes triangles.
Comme les nombres rationnels, les triangles de cotés entiers forment un ensemble dénombrable. Fred ou freddy ou yoshi ou autre peuvent confirmer éventuellement.
Par continuité on prend [tex]0^0=1[/tex]. Par chance, grâce à ce 1 Nulemmaths alias 0^0 existe vraiment :-))
Cordialement
#261 Re : Programmation » Droites tangentes à une courbe » 30-06-2014 11:38:51
Re Bonjour,
@lambda : Tu as bien de la chance avec ton esprit curieux, tu vas apprendre des choses de plus en plus passionnantes.
Une parabole est un objet dont l'axe est vertical quand il est sous la forme [tex]y=x^2[/tex]
Alors l'axe de la parabole correspond avec l'axe des ordonnées.
Mais les axes de coordonnées et la parabole peuvent être déplacés.
Ici la parabole à son axe sur la première bissectrice ( la droite y=x ) et son sommet n'est pas à l'origine. !!
#262 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 30-06-2014 09:43:36
Bonjour,
Passer de Nulenmaths à ZéroPuissanceZéro est une belle promotion ! Au fait 0^0 = [tex]0^0[/tex] vaut combien ?
Avant d'entrer éventuellement dans de passionnantes discussions sur les algorithmes, pourrais-tu dire, 0^0,
1. Comment tu as trouvé tes 3 triangles
2. Comment tu as vérifié que les distances aux sommets étaient bien des valeurs entières, sans une décimale lointaine qui trainerait...
Mes triangles (dont les 30) sont scalènes (cotés tous différents). Donc ne comprennent pas les triangles équilatéraux
Autre question : l'Ensemble des triangles considérés au post #1 est-il dénombrable ?
#263 Re : Programmation » Droites tangentes à une courbe » 30-06-2014 09:26:52
Bonjour,
@ lambda : Tu as déjà en tête bien des concepts qui te seront développés au lycée : dérivées, tangentes, limites....
Surtout rappelle-toi que lorsque l'on prend h petit (tout petit puisqu'on le fait tendre vers zéro) alors tout ce qui est en h² est vraiment encore plus petit et on "simplifie" en le supprimant froidement des développements...
Pour tout ce qui est géométrie, je te conseille GeoGebra (logiciel libre et gratuit) :
J'ai donné au post #2 la fonction [tex](x−y+a)^2−4ax=0[/tex] en coordonnées cartésiennes.
C'est ta fonction [tex]f(x)=x−2\sqrt{x}+1[/tex] où [tex]f(x)=y[/tex] et a = 1, mais sous une forme plus normalisée.
Je me risque même à dire : On reconnait une parabole. (Je ne risque pas de remontrance de yoshi , puisque l'on n'est pas dans le Forum d'aide au collège)
Bonne continuation
#264 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 29-06-2014 20:09:46
Bonsoir à toutes et tous
et en particulier à PasSiNulenmaths
Je ne suggère rien en ce qui concerne l'existence de la formule recherchée : la définition du problème peut conduire à divers algorithmes de recherche qui, chacun, peuvent privilégier différentes conditions particulières.
On n'est pas par exemple dans : quelle est la formule qui permet de calculer le n-ième terme de la suite de Fibonacci dont a0=1 et a1=1.
Alors j'ai défini un algorithme (c'est une formule !) qui m'a donné 30 triangles adéquats en 17 secondes de calcul sur mon PC (tout a fait familial et ayant 3 ans d'age).
Pour chacun est donné : AC, BC, AB, AM, BM, CM dans l'ordre. Avec test rigoureux, en calcul repris exclusivement en opérations sur des entiers pour vérifier AM, BM et CM et contrôle que le point M est bien intérieur au triangle.
N'a pas été investigué s'il pouvait exister plusieurs points adéquats dans le même triangle.
N° AC BC AB AM BM CM
N° 1 : 8 19 22 6 17 4
N° 2 : 13 30 32 6 28 8
N° 3 : 14 38 39 8 34 8
N° 4 : 16 38 44 12 34 8
N° 5 : 16 39 43 13 34 7
N° 6 : 17 38 43 12 35 7
N° 7 : 18 20 26 15 13 9
N° 8 : 18 48 51 17 36 14
N° 9 : 19 48 58 17 46 4
N° 10 : 20 21 23 14 13 10
N° 11 : 20 31 39 19 22 11
N° 12 : 22 37 39 13 28 15
N° 13 : 22 48 58 20 43 7
N° 14 : 23 27 28 18 20 8
N° 15 : 23 36 41 10 33 15
N° 16 : 23 44 61 22 42 4
N° 17 : 24 26 28 17 21 8
N° 18 : 24 27 39 15 26 11
N° 19 : 24 31 35 19 26 7
N° 20 : 24 42 60 20 41 8
N° 21 : 24 45 57 23 41 5
N° 22 : 24 49 52 24 32 18
N° 23 : 25 29 44 25 21 10
N° 24 : 25 36 37 14 27 15
N° 25 : 26 30 32 19 15 18
N° 26 : 26 47 60 32 29 20
N° 27 : 28 32 40 28 13 21
N° 28 : 28 35 49 29 22 15
N° 29 : 28 43 50 22 32 15
N° 30 : 28 48 64 26 42 9
Le numéro d'ordre m'est personnel et n'est qu'indicatif, car je ne sais pas ce qu'est un "bon ordre" sur l'ensemble des triangles du plan...
cordialement
#265 Re : Programmation » Droites tangentes à une courbe » 28-06-2014 15:22:57
Bonjour,
@ lambda : Ce que tu as fait est tout à fait remarquable !
Pour donner la courbe " enveloppe du segment [AB] ", j'appelle length = a (a est un paramètre fixe)
J'utilise un paramètre "mobile" m avec [tex]0 \leq m \leq a[/tex]
Le point A a pour coordonnées (m ; 0) et le point B (0 ; a-m) : si j'ai bien vu que B descend de m quand A va à droite de m.
La courbe a alors pour équation paramétrée : [tex]x=\frac{m^2}{a}\ et \ y=\frac{(m-a)^2}{a}[/tex]
Ou, en coordonnées cartésiennes : [tex](x-y+a)^2-4ax=0[/tex]
On obtient ce résultat en écrivant l'équation de la droite(AB) en fonction de m
Puis en faisant varier m d'une petite quantité h qui met la droite (AB) en (A'B')
On calcule le point d'intersection des droites (AB) et (A'B') et on fait tendre h vers zéro :
le point d'intersection est alors le point de contact avec (AB) de la courbe "enveloppe de (AB) ".
Mais ces considérations sont du niveau Lycée…
#266 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 27-06-2014 21:11:46
Bonsoir,
@ Nulenmaths
Voici 3 triangles que vous pouvez placer sur le cercle trigonométrique
Pour chacun les longueurs des 3 cotés sont :
[0.39603960396039606, 1.9693013504064225, 1.9994287161902613]
[0.7763944711302814, 1.8611818519332202, 1.9994287161902613]
[1.126001042413819, 1.679352181106227, 1.9994287161902613]
Vous paraissent-ils correspondre à votre attente qui est :
"triangles à cotés entiers décomposables en 3 triangles dont les cotés sont entiers également, tels que ceux-ci possèdent un sommet en commun, autrement dit: triangles (à cotés entiers) qui possèdent la particularité d'avoir un point interne P à distances entières de leurs sommets." ?
Eh bien ces triangles ont des cotés qui s'expriment chacun en nombres rationnels :
[tex]\frac{40}{101}, \frac{211135759672280}{107213535210701}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]
[tex]\frac{7920}{10201}, \frac{1975682039760}{1061520150601}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]
[tex]\frac{1160120}{1030301}, \frac{17650160200}{10510100501}, \frac{21650947927519680}{10828567056280801}[/tex]
Donc, comme évoqué post #17, ces triangles sont générateurs par dilatation de triangles (super énormes !!!) correspondant à votre demande
Une formule simple permet de les générer.
Mais ce ne sont que quelques échantillons parmi une infinité, et la formule sur le cercle trigonométrique n'est qu'une solution parmi bien d'autre.
Vous pouvez donc rêver à LA FORMULE qui produirait la liste complète....
Cordialement.
#267 Re : Café mathématique » lectures d'été. » 26-06-2014 17:07:22
Bonjour,
Entendre parler des frères Igor et Grichka BOGDANOV me hérisse toujours quelque peu :
Un proche a cru bon de m'offrir leur grand ouvrage : "Voyage vers l'instant Zéro"
Images magnifiques, aperçus vertigineux...
Mais je feuillète rapidement et trouve en gros titre page 139 : "Les poissons ont d'abord donné naissance aux insectes" (Sic !)
Comment peut-on être "Docteurs en cosmologie primordiale" et écrire ou laisser écrire de telles énormités !
L'évolution aurait fait passer de certains vertébrés à des invertébrés ?
J'ai refermé et mis ce bel ouvrage au placard.
#268 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 26-06-2014 11:19:08
reBonjour,
Ce n'est effectivement qu'un cas particulier (de la liste infinie) des triangles qui conviennent, car il n'est pas spécifié que le point intérieur P soit à des distances différentes de chacun des sommets
et ce n'est qu'une adaptation du problème : peut-on trouver dans le plan n points non alignés à distances entières les uns des autres.
Mais on voit que les triangles que je propose peuvent être tous différents les uns des autres, y compris les triangles "internes"
@ yoshi : Nulemmaths n'est pas si nul qu'il le prétend...
je faisais de l'humour en évoquant louange ou sarcasme, nous savons à quoi nous en tenir...
#269 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 26-06-2014 10:17:57
Bonjour,
Je ne sais si les qualificatifs de yoshi sont des louanges ou des sarcasmes,
Mais je pars de la constatation que
"pour tout triangle scalène ABC dont tout angle au sommet est inférieur à [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] le centre du cercle circonscrit est intérieur au triangle".
Si les cotés du triangle et le rayon du cercle circonscrit ont des longueurs entières, ce triangle ABC respecte les conditions posées par Nulenmaths au post #1 (Le point P demandé est le centre du cercle circonscrit)
Je sais alors définir, construire (calculer en un temps court), n triangles scalènes (n fini quelconque, aussi grand soit-il), tous différents, convenant au problème posé.
Il suffit de construire sur le cercle de rayon 1 (le cercle trigonométrique) des points tous situés à "distance rationnelle " les uns des autres. Pour cela il suffit que la différence de leurs arguments soit un multiple d'un angle [tex]\alpha[/tex] (assez petit) tel que [tex]\tan\left( \frac{\alpha}{4} \right)[/tex] soit rationnelle.
Note : Pour passer d'une figure où les longueurs sont rationnelles à une figure où les longueurs sont toutes entières, il suffit de dilater suivant le PPCM de tous les dénominateurs.
Je vous laisse définir la suite…
#270 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Partitions de triangles entiers en triangles entiers. » 25-06-2014 10:26:33
Bonjour,
Quelques questions pour mieux comprendre le problème posé :
qu'est-ce qu'une "formule permettant de produire...." ?
Comme a² = b² + c² qui permet de fournir les triplets pythagoriciens ?
"liste complète" : on peut utiliser les triplets pythagoriciens pour fournir une grande liste de triangles adéquats, mais jamais complète...
"triangles (à cotés entiers) qui peuvent être décomposés en 3 triangles non similaires à cotés entiers également" : Comment est défini "non similaires" ?
On sait trouver une infinité d'ensembles de 4 points (et même de n points, n fini quelconque) non alignés dont les distances 2 à 2 sont entières. Mais pour que l'un des points soit intérieur au triangle formé par 3 autres, il faut aussi respecter des conditions d'inégalités supplémentaires entre les distances ( conditions non respectées dans cette solution )
"Il semble que celui (le triangle) donné soit le plus petit." :
Est-ce que le triangle de cotés 3,4,5 est plus petit que celui de cotés 2,5,6 ?
la formule : [tex](s^2 + b^2 - a^2)^2 + (s^2 + b^2 - c^2)^2 = (2 b s)^2[/tex]
est vraie pour tout point M du plan, a, b, c étant les distances à 3 sommets d'un carré de coté s avec b la distance au sommet du triangle ayant un angle droit. Utiliser cette formule restreint vraisemblablement la généralité recherchée pour les solutions...et renvoie aux triplets pythagoriciens...
#271 Re : Café mathématique » Sujet bac S » 24-06-2014 11:30:18
Bonjour,
Juste une petite correction dans l'exercice 4.3. 2ème ligne (Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)
lire [tex]Z_{n+1}=A^2Z_n[/tex]
Merci pour avoir publié les énoncés.
Je n'ai pas trouvé "difficile", ce qui est "difficile c’est de bien gérer son temps sans s'affoler si les solutions ne viennent pas immédiatement...
#272 Re : Entraide (supérieur) » somme » 13-06-2014 17:27:42
Bonjour,
J'ai un peu regardé pour quelques premières valeurs de n, mais je n'ai pas trouvé de démonstration ...
Pourtant si on place sur le cercle trigonométrique les points [tex]A_0\ à\ A_{n-1}[/tex] qui divisent le cercle en n secteurs, on voit que le premier membre en somme de cos() correspond à sélectionner successivement les points [tex]A_i\ depuis\ A_0[/tex] en avançant de 1 pas, puis de 3, puis de 5,...puis de (2n-3).
Si alors on regarde la suite des n valeurs i, c'est la congruence des [tex]k^2\ modulo\ n[/tex] avec des symétries assez remarquables.
D'où un calcul (et un contrôle) de chacun des membres des équations très rapide. Mais je ne sais aller plus avant.
Avez-vous plus de résultat ?
#273 Re : Entraide (collège-lycée) » resolution somme de radicaux emboites » 12-06-2014 20:27:11
Bonsoir,
jeanrek cherche à résoudre [tex]\sqrt[3]{4+\frac{4i\sqrt{15}}{9}}+\sqrt[3]{4-\frac{4i\sqrt{15}}{9}}[/tex]
et à écrit :
Cette expression est en fait la racine d'une équation du 3e degré. Malgré la présence de i, c'est en fait une racine réelle que je sais égale à - 2 ( moins 2) . Autrement dit on doit parvenir à éliminer à la fois les parties imaginaires et tous les radicaux.
A toutes fins utiles l'équation dont cette expression est solution, est x3 - 8x - 8 = 0.
Eh bien NON, il faut SUIVRE SOIGNEUSEMENT la suggestion de freddy car un radical cubique d'un nombre imaginaire conduit à 3 solutions et il faut ajouter un des trois nombres solutions à un autre conjugué du premier pour être solution d'une équation du 3ème degré à coefficients réels...
Un petit programme Python 3.2 qui fait le travail :
u=complex(4,4*sqrt(15)/9)**(1/3) #racine cubique
print("racine 1 =",u.real*2) #somme nombre+nombre conjugué
r=complex(-1/2,sqrt(3)/2) #rotation 120 degrés
print("racine 2 =",(u*r).real*2)
print("racine 3 =",(u*r*r).real*2)
#274 Re : Entraide (collège-lycée) » resolution somme de radicaux emboites » 12-06-2014 11:41:18
re,
les 2 nombres sous les radicaux sont des complexes conjugués, il faut en calculer module et argument, diviser les arguments par 3 et additionner les complexes obtenus...
#275 Re : Entraide (collège-lycée) » resolution somme de radicaux emboites » 12-06-2014 11:24:18
Bonjour,
Bizarre !!!
[tex]x^3 - 8x - 8 [/tex] se met immédiatement sous la forme : [tex](x+2)(x²-2x-4)[/tex] dont les racines sont évidentes ?
[tex]-2,\ 1-\sqrt{5},\ et\ 1 +\sqrt{5}[/tex]