Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Il ne me semble pas que la démonstration donnée au 3/ soit correcte.

je suis d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$

je suis d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E$

Je ne suis pas d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E \leq \epsilon$
Tu vois bien que l'ordre de grandeur n'est pas bon. Tu peux imaginer que les $f_n$ sont constantes est valent $5$ par exemple, donc $||f_N(x)||_E + ||−f(x)|| = 10$, ce qui n'a rien à voir avec $\epsilon$.

Ensuite, tu enchaines avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$  $||f(x)||_E \leq \epsilon + ||-f_N(x)||_E$
Même en supposant l'inégalité précédente vraie, je ne vois pas comment ça entraine celle-ci !
(soit dit en passant, le signe '$-$' à l'intérieur de la norme ne sert pas à grand chose)

Oui, c'est correct, mais ce n'est pas ce que tu cherches (ici, tu minores $\|f(x)\|$ alors que tu cherches un majorant).

Oui, je suis d'accord. Je souhaitais rappeler à sbl_bak qu'il avait également ce point à montrer.
Il faut également établir la convergence uniforme (qui est aussi assez immédiate)

Sauf erreur, il faudra tout de même montrer que la fonction candidate est bornée.

Attention soso1,
Pour l'instant, tu n'as rien démontré !
Tu pars d'un constat qui est faux : $\forall a > 0, a^2 > a$ !
La subtilité dans cet exercice vient du fait que même si $\dfrac{x}{y} < 1$ et $\dfrac{y}{z} < 1$, alors le troisième terme $\dfrac{z}{x} > 1$ et va pouvoir rattraper le déficit.

Bonjour,
Ou est passé le terme $E(\overline{X}^2)$ ?

Bonjour,
@ghassem : traiter une question de "un peu trivial" est au mieux inefficace et au pire condescendant !

Fais attention à ce que tu écris, ça peut te coûter de précieux points !
C'est $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{U_n}$ et non $\displaystyle \lim_{k \to n} \sqrt[n]{U_n}$

Juste pour couper les cheveux en quatre :
L'écriture $\displaystyle F_n(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan^n(x)}{n^2+4}$ est incorrecte (le $n$ à gauche n'a rien à voir avec le $n$ à droite).
J'imagine que tu voulais écrire $\displaystyle F_n(x) = \sum_{j=1}^{n}\frac{\tan^j(x)}{j^2+4}$

d'autre part, l'égalité $\displaystyle \lim_n \sqrt[n]{|F_n(x)|} = \lim_n \frac{|\tan(x)|}{\sqrt[n]{n^2+4}}$ est fausse !

Bonjour,

Une petite digression pour appuyer ce qu'a (si bien) dit Fred ci-dessus :

En considérant la transposée, on peut en effet considérer des matrices dont la somme des lignes vaut $1$. Ces matrices ont même méritées un nom spécial. On les appelle matrices stochastiques.

Si on prend deux matrices stochastiques $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$, alors le terme général du produit s'écrit comme $c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$.
Alors, la somme des éléments d'une ligne de ce produit se calcule comme suit :
$\displaystyle\begin{array}
.\sum_{i=1}^n c_{ij} &= \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} \\
&= \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ik}b_{kj} \\
&= \sum_{k=1}^n b_{kj} \sum_{i=1}^n a_{ik} \\
&= \sum_{k=1}^n b_{kj} \\
&= 1 \end{array}$
Donc, le produit de deux matrices stochastique est une matrice stochastique.

On peut aussi regarder ce problème sous un autre angle, celui du point fixe.
Si on prend le vecteur $e=(1,1,\cdots,1)^T$ (vecteur colonne avec que des $1$). Alors le vecteur $Ae$ contient les sommes des lignes de la matrice $A$. Donc, si $A$ est une matrice stochastique, $Ae=e$, et donc $e$ est un point fixe de $A$.
On vérifie donc aisément que pour deux matrices stochastiques $A$ et $B$, $ABe=Ae=e$, et donc $AB$ est stochastique. Si $A$ est stochastique et inversible, alors $A^{-1}$ est également stochastique.

Maintenant, sous l'angle des probabilités, si on considère un système qui a $n$ états et peut évoluer d'un état à l'autre de manière aléatoire (une puce qui sauterait d'un point à un autre par exemple), on représente par une matrice stochastique les probabilités de transition, c'est à dire la probabilité d'évoluer vers l'état $j$ sachant qu'on le système est dans l'état $i$. La condition sur la somme qui vaut $1$ matérialise simplement le fait que le système va forcément se retrouver dans un état donné en partant de n'importe quel état $i$.
Cette condition sera bien remplie si on applique d'abord une matrice stochastique $B$ puis une matrice stochastique $A$.

Tu prends un ouvert $\mathcal{O}$ de $\mathbb{R}$ et tu montres que $f^{-1}(\mathcal{O})$ est un ouvert. Tu raisonneras en fonction de l'appartenance $0,1 \in \mathcal{O}$ ou pas.

Bonjour,
Il y a eu une discussion sur ce sujet dans le forum.
Voir ici