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#226 Café mathématique » Propriété de la courbe de Gauss » 24-07-2016 11:01:33
- Dlzlogic
- Réponses : 17
Bonjour,
On peut faire l'affirmation suivante "toutes des courbes de Gauss sont superposable, donc identiques". C'est à dire qu'elles ont toutes la même équation.
Cela signifie que par une translation et une mise à l'échelle on peut réaliser cette superposition.
Si par une opération quelconque on a obtenu une courbe de Gauss sous la forme y = c . exp(-(x-a)²/b),
alors le paramètre 'a' est le paramètre de translation, le paramètre 'b' le paramètre d'échelle en X, donc fonction de l'écart-type, et le paramètre 'c', le paramètre d'échelle en Y.
Ces trois paramètres sont indépendants.
[HS] La nuit porte conseil, c'était la notion qui m'avait échappé hier[/HS]
#227 Re : Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries » Peut - on battre le hasard ? » 24-07-2016 10:45:56
Bonjour,
Si j'avais envie de jouer,
je prendrais x1=1 ; x2 = 1007 ; x2=1008
au coup suivant x1= 2 ; x2 = 1007 ; x2=1007
au coup suivant x1= 3 ; x2 = 1006 ; x2=1007
au coup suivant x1= 4 ; x2 = 1006 ; x2=1006
etc.
au 100è coup x1= 100 ; x2 = 958 ; x2=958
Je pense que c'est la maximum de chance d'être supérieur à la machine.
Mais, il y a forcément un homme qui va dire à la machine comment faire.
A quelle étape intervient le hasard ?
#228 Re : Café mathématique » Calcul de l'écart-type » 23-07-2016 21:50:58
Bonsoir,
Vous êtes vachement sympas tous les deux, mais pas vraiment utiles, alors l'absence de réponse eût été préférable.
Sous réserve de vérification, le paramètre 'c' est un facteur d'affinité, donc ne dépendant que de la mise en page.
Donc, vos réponses ne sont pas utiles.
PS, je suis étonné que Freddy ait perdu du temps à lire mon message, par contre la réaction de Léon est classique et conforme à son habitudes.
Merci les gars.
[HS] pour les lecteurs qui se demanderaient de quoi il s'agit, la préoccupation consiste à 'fitter' une courbe définie par un certain nombre de couples X,Y. On a une forte présomption que la courbe soit une courbe de Gauss. En l'occurrence, il s'agit d'un problème de transfert de chaleur, rien à voir avec un rapport direct des probabilités, généralement controversés sur le présent forum.[/HS]
#229 Café mathématique » Calcul de l'écart-type » 23-07-2016 13:52:15
- Dlzlogic
- Réponses : 5
Bonjour,
J'ai vraiment besoin d'aide.
Soit la fonction y=c.exp(-(x-a)²/b)
C'est naturellement la fonction de Gauss de forme générale y=1/(2*pi)^0.5 * exp(-x²/2)
J' besoin de l'écart type en fonction de a, b et c pour une représentation standard. Je n'y arrive pas.
Pour le coefficient a, c'est juste une translation, pas de problème.
Si je note s l'écart-type, alors
y= 1/s*(2*pi)^0.5 * exp(-(x-a)² / 2*s²)
Si on identifie les paramètres
c = 1/s * (2*pi)^0.5
b= 2 * s² ; ce qui n'est évidemment pas bon.
Merci d'avance.
#230 Café mathématique » Documenr à lire » 22-07-2016 15:36:52
- Dlzlogic
- Réponses : 0
Bonjour,
Léon a généreusement indiqué sur un autre forum un document qui me parait intéressant :
http://media.eduscol.education.fr/file/ … 144663.pdf
Personnellement, je n'aime pas tellement l'invention de nouveaux termes, mais bon...
J'ai bien aimé l'expression "Valeur vraie". C'est effectivement celle qui est employée normalement pour cette notion et que malheureusement on ne rencontre pas souvent.
Dans ce document, le terme de biais est parfaitement précisé : c'est une erreur systématique. Dans l'hypothèse où cette définition est exacte, ce terme ne devrait pas apparaitre dans un cours de probabilité. En effet, ce terme est directement lié à une notion de translation, de changement de repère, de correction systématique. Cette valeur est peut-être inconnue à l'instant t de la mesure, du procédé ou des conditions de mesure, cependant, par d'autres procédés, on peut toujours l'évaluer avec une certaine précision, et les probabilités n'ont rien à voir avec cette notion. Pour préciser les choses, les règles de composition des écarts systématiques sont fondamentalement différentes de celles de la composition des écarts accidentels dits aussi aléatoires.
Naturellement ce document est à l'usage des professeurs de physique/chimie et non de mathématique, c'est probablement la raison pour laquelle les notions mathématiques nécessaires sont supposées connues.
#231 Re : Café mathématique » Apprendre les mathématiques : à quoi ça sert? » 21-07-2016 21:58:08
Bonsoir,
Un petit up sur le sujet.
Selon mes informations, ma belle-fille a eu 100% de réussite au Bac (section Siences-Ex). Apparemment ce n'était pas une bonne classe, il y a eu plusieurs mentions TB, et je crois quelques rattrapages. Ceci n'est ni une preuve de quoi que ce soit, ni une quelconque revendication, seulement une information caftée.
Mon fils a eu une expression amusante " Il est difficile de ne pas avoir son bac".
Je ne prends en aucun cas parti pour je ne sais qui, je me limite à un constat.
Pardon pour cette intervention hérétique et à l'évidence intempestive.
#232 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 18-07-2016 12:13:48
@ Yassine.
Je te prie d'accepter mes excuses si j'ai dit des choses qui t'ont déplu. Ces notions que j'explique et que je n'ai en aucun cas inventé, je les utilise, comme tous ceux qui font de la métrologie, depuis 50 ans, alors quelque fois les mots peuvent sortir plus vite de mon clavier que je ne voudrais.
De ton côté, je te serais gré de bien vouloir cesser de dire que je suis incompétent.
#233 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 21:59:17
@ Léon,
Dlzlogic a écrit :
D'ailleurs, je n'ai pas eu de réponse claire de ta part sur cette question.Manque de mémoire. Je te l'ai pourtant écrit deux fois en moins d'une semaine...
Merci, la mémoire, ça va encore.
Tu m'as dit "tu sais très bien ce que je pense de J.H." J'ai cru traduire "Ca va j'ai compris l'histoire de Bertrand, mais que ça reste entre nous". Bref, je crois encore à la bonne foi des membres des forums.
Alors, dis-le clairement, pour toi, le problème de la probabilité de la corde de Bertrand est-il bien défini ou au contraire, il manque la définition de la loi à préciser.
Sur un plan beaucoup plus général, il peut sembler étonnant que des matheux réagissent de façon aussi insultantes, sans autre argument que "moi, je sais".
J'ai un peu de mal à comprendre que des notions, c'est vrai pas évidentes, soient balayées sans aucun argument par des matheux. Il est vrai, on m'avait prévenu, mais j'avoue que, à ce point là, je ne pouvais pas l'imaginer.
Bon, j'en prends acte, c'est comme ça.
Pardon, mais je rajoute un petit détail. L'un des points qui m'était contesté était la relation constante entre l'écart-type et l'écart moyen arithmétique. Tu as eu l'honnêteté de le vérifier. Je ne me souviens pas que tu m'aies fait de remarque (sauf une faute de typographie) sur mon papier. J'observe que aucun des membres actifs dans cette discussion n'a fait de remarque. Pas lu, tout nier en bloc, je crois que je ne le saurai jamais.
Bonne soirée.
#234 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 21:04:21
@ Freddy,
Tu m'en veux toujours d'avoir voulu t'aider à propos des 5000 boites noires. Un spécialiste des probas n'aurait jamais posé cette question.
Et toi, t'as compris la démo de J.H. ?
#235 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 20:56:14
Salut Léon,
Fidèle à tes principes.
Juste une petite chose où j'ai peut-être répondu un peu vite. Si Yassine parlait de deux évènement "contradictoires", mais à eux deux exclusifs et complémentaires, alors, naturellement, l'union de ces deux évènement vaut 1. La belle découverte.
Tu sais bien, mais c'est tellement plus amusant de paraitre ignorer que ce dont parlait, probablement Yassine évoquait la combinaison de deux évènement indépendants. Mais peut-être est-ce trop compliqué.
Pour faire simple, le critère, sans doute possible, est l'histoire de Bertrand. La démonstration de J.H. ne fait en aucun cas appel à d'autre notion de mathématique que l'intégration, les changements de variables etc. Aucune notion de probabilité, de théorie de la mesure ou je ne sais quoi d'autre, que Yassine connait certainement. Je crois plutôt qu'il n'a pas lu la démonstration, pas plus que Freddy. Je suis sûr que si celui-ci avait compris, il aurait réagi.
D'ailleurs, je n'ai pas eu de réponse claire de ta part sur cette question.
PS Je ne confonds rien du tout. Les écarts se combinent quadratiquement.
@ Yassine, oui, il vaut mieux que tu n'interviennes plus, tu es à la limite du ridicule et tu as largement dépassé les limites de correction envers les membres, notion fondamentale dans le cadre des forums.
#236 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 19:08:17
Le hasard, au sens "philosophique" ou courant du terme, n'est pas définit dans l'axiomatique de Kolmogorov.
Le paradoxe de Bertrand ne peut être entièrement compris sans une bonne connaissance de la théorie de la mesure.
Cette phrase me suffit. Tu n'as aucune idée de la notion de probabilité.
Donc, je confirme, il faut que tu remplace "probabilité" par "proportion" dans tout ce que tu écris.
#237 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 18:22:25
Suite,
Te fais pas de bile pour JJ Levallois, il savait exactement ce qu'il écrivait.
Tu emploies le terme estimateur. Malgré mes nombreuses questions, je n'ai jamais pu savoir si un estimateur était une méthode pour "estimer" et une valeur "estimée". Est-ce un secret ?
Autre secret que je n'ai jamais réussi à percer : la signification de "biais". Bien-sûr on m'a renvoyé à des articles, des cours etc. Naturellement j'ai compris ce qu'on voulait dire par là, par contre, une définition valable dans tous les cas; jamais.
Autre terme très flou, "espérance". L'article de Wiki est clair, mais peut-on dire honnêtement que c'est une définition mathématique ? Et puis, quand on lui rajoute la qualité de "biais", alors on est sûr d'avoir raison dans tous les cas.
Une quantité peut être un nombre (de bouteilles de vin), une taille (de poissons), un poids, un diamètre ou une circonférence (d'une boule de pétanque), une position (d'un mobile), une disposition d'une corde (d'un cercle), une date (pour prévision de stock), une référence au temps qu'il fait (météo), un prix (suivi de magasin), mais pas un numéro de compte bancaire. A toutes ces quantités, on pourra rattacher un nombre.
Différence entre observation et mesure.
J'observe un phénomène (comptage de voiture). Je n'ai aucun moyen d'action sur cette observation. En plus du comptage, je peux noter le jour, l'heure etc.
Si je veux mesurer un phénomène, par exemple la période d'un pendule, je vais organiser ma méthode de mesure.
la mesure d'une union d'événements disjoints deux à deux est la somme des probabilités.
Ben non, c'est la racine carrée de la somme des carrés.
Pour ton information, je n'ai strictement rien inventé. Et toi, tu fais un amalgame entre "proportion" et "probabilité". D'ailleurs, il suffit de voir le nombre de termes dont le sens est peu défini, multiple, variable suivant les cas.
Tu ne m'as pas dit si tu avais compris le faux paradoxe de Bertrand.
#238 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 16:17:54
D'abord, merci pour le temps que tu a pris pour me répondre. Je vais essayer de ne rien oublier.
Variable aléatoire réelle indépendantes et identiquement distribuées va r iid.
Depuis que j'ai vu cette expression, bien sûr j'ai compris de quoi on voulait parler, mais elle m'a toujours étonnée.
Variable : suivant ce qu'on lit, c'est une valeur numérique ou une fonction. Pourquoi, comme tu dis un peu plus loin, il ne pourrait pas s'agir d'un évènement ?
Le terme aléatoire est très important. Malgré mes recherches je ne l'ai vu défini nulle part dans les cours. Et même le contraire, quand on lit "quelle loi de hasard". Le paradoxe de Bertrand et la levée de bouclier que provoquent les discussions à ce sujet en sont une preuve supplémentaire.
Pourquoi [variable] réelle, on pourrait très bien avoir des variables appartenant à N ?
Indépendantes, c'est vrai, mais j'ai un contre-exemple.
Identiquement distribuées. Bien sûr on comprend ce que ça a envie de vouloir dire, mais ça contredit en quelle que sorte le terme "aléatoire".
Variable indépendante et de même loi. Là c'est la notion de "même loi" qui est floue. Cela sous-entend qu'on connait la loi OUI ou NON ? Qu'on peut l'écrire sous forme mathématique ? Par exemple, le tir sur cible, quelle est la loi ? Quel est le nombre réel qu'on peut écrire pour caractériser un tir ?
Pour la convergence, ok, je peux pas comprendre, donc je me limite à l'aléatoire qui ne dépend que DU hasard.
Moyenne arithmétique. Ca c'est le point fondamental. Pourquoi l'appelle-t-on "moyenne empirique", par pudeur ou pour laisser un flou artistique sur ce choix. Pourquoi on adopte la moyenne arithmétique ? J'ai posé très souvent la question, parce que c'est fondamental, généralement je n'ai pas de réponse, mais je me souviens d'une particulièrement savoureuse "ça dépend", une autre "fais comme tu veux".
Ensuite, à partir de ce théorème, on peut établir le théorème fondamental de la statistique, dit encore théorème de Glivenko-Cantelli qui dit que la fréquence d'un événement converge vers sa probabilité.
Pour moi, c'est la loi des grands nombres.
Le TCL. Suivant mes lectures, Kolmogorov ne l'utilise pas. N'y aurait-il pas une petite contradiction ?
Suivant les cas, soit me dit "mais non, c'est en moyenne", ou "mais non, c'est la somme". Là c'est marrant, tu n'emploies pas l'expression "loi normale". Pourtant c'est bien de ça qu'il s'agit. On pourrait résumer grossièrement "tout phénomène aléatoire tend (ou converge) vers la loi normale". C'est tout de même plus simple, tu crois pas ?
Pour la suite, on verra plus tard, sauf un détail : si on veut chiffrer une notion de température on va mesurer ses effets, par exemple la dilatation.
#239 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 13:19:28
Je vais essayer de répondre en n'utilisant que des termes que j'aurais définis.
"Soit une expérience réalisée un grand nombre de fois."
Extrait de mon pdf
Observation : C'est un terme plus général que mesure, et dans le contexte des probabilités, il peut être considéré comme synonyme. On pourra trouver des cas où cette distinction peut être nécessaire. Par exemple, on observe un certain
phénomène mesuré par un comptage de nombre d'éléments, mais intervient aussi un facteur climatique que l'on cote
de 1 à 5, 1 : mauvais temps ; 5 beau temps.
Les termes "observation" et "expérience" sont à peu près interchangeables dans le contexte actuel.
L'expérience réalisée consiste à lancer un grand nombre de fois une pièce (ou jouer un grand nombre de fois avec des cases rouges et noires). L'élément observé est la suite continue de N Pile successifs, resp. Face.
L'évènement A est une suite de 1 Pile resp. 1 Face
L'évènement B est une suite de 2 Pile resp. 2 Face
L'évènement C est une suite de 3 Pile resp. 3 Face
L'évènement D est une suite de 4 Pile resp. 4 Face
etc.
On sait que l'évènement A a la probabilité de 50% (en fait 25% pour Pile et 25% pour Face).
L'évènement B a la probabilité de 25% (Pile 12.5% Face 12.5%)
etc.
" La loi des grands nombre dit que le résultat tend vers sa probabilité."
Le résultat est le nombre d'évènements A, le nombre d'évènements B etc.
L'expérience dont j'ai donné un résultat montre que les évènements A, B, C etc. ont effectivement les proportions approximativement égales à la probabilité théorique.
Comme la probabilité n'est pas la même pour chaque évènement, c'est à dire que les évènements ne sont pas équiprobable, le calcul d'une moyenne n'a pas de sens.
Pourquoi un résultat (qui à priori pourrait être un nombre quelconque) convergerait-il vers une probabilité ?
Parce que c'est la loi des grands nombres, l'une des bases fondamentales des probabilités. Jette un coup d'oeuil sur le lien que j'ai donné à Léon. http://www.dlzlogic.com/Gauss1_19.pdf C'est un cours, et c'est pas moi qui l'ai écrit. Là, je pense que tu trouvera toutes les indications, explications et démonstrations que tu pourrais souhaiter. Je sais qu'il date d'une bonne cinquantaine d'années, mais je ne crois par qu'on ait inventé quoi que ce soit sur le sujet depuis cette date.
#240 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 17-07-2016 11:51:52
Bonjour,
C'est curieux, on parle de tout et de rien, sauf du sujet d'origine qui est la loi ds grands nombres.
Pour ceux qui auraient lu trop vite, je rappelle la définition que j'ai donnée : Soit une expérience réalisée un grand nombre de fois. La loi des grands nombre dit que le résultat tend vers sa probabilité.
Dans la simulation que j'ai donnée, la probabilité d'avoir une liste de 1 même couleur est 50%, 2 est 1/2² = 25%, 3 est 1/2^3 etc.
Les valeurs observées confirment cela.
Bonne journée.
#241 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 23:59:28
Bonsoir,
Moi aussi, je pose la question de savoir si on parle de math ou de théorie.
Il me semble qu'un préalable indispensable est de préciser si une simulation du type pile ou face est acceptable on non.
Tout autre point du type psychologie, choix, préférence devra être étudie" et discutée après qu'on se soit mis d'accord sur ce préalable.
Sur un autre forum il y a un champion de ce type de notion. il s'appelle C C. Je croyais qu'ici, on parlait de maths.
[HS] je me demande si il n'y pas eu un mélange dans la succession chronologique de certains messages.[/HS]
Il me semble que le sujet "Loi des grands nombres" est simple, transparent et j'ai du mal à comprendre qu'il provoque de telle polémique. Léon se sentirait-il en porte-à-faux sur ce sujet, y aurait-il pour lui une incompréhension ?
#242 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 22:13:20
Oh, mais moi, je ne demande rien, en l'occurrence je montre une simulation faite il y a un certain temps, que j'ai montrée plusieurs fois et qui décrit une expérience aléatoire, exécutés avec un simulateur de nombre aléatoire, tout à fait standard, qu'il est est facile de contester, mais impossible de montrer qu'il ne respecte pas la condition d'aléatoire.
En référence, des échanges sur les simulateurs où la bonne foi n'était manifestement pas l'élément moteur des échanges.
En l'occurrence, cette expérience vérifie la loi des grand nombres : le résultat est conforme à sa probabilité. C'est le sujet en cours. (rien à voir avec une quelconque moyenne). Pour l'intimidation, il faut ouvrir un autre sujet.
A propos de Gauss et cie, que tu l'aies compris ou pas, ils établissent la théorie fondamentale des probabilités que l'on peut résumer en quatre points, le postulat de la moyenne, la notion de hasard, la loi des grands nombres et le TCL.
Et toi, de quoi parles-tu, que je suis un imbécile, que je n'y connais rien ? Quel argument as-tu, des cours sans queue ni tête, l'incapacité de résoudre des exercices simples, après avoir très longtemps contredit l'histoire de MH (un gadget) et surtout le "paradoxe" de Bertrand (problème fondamental), tu dis que tu es d'accord avec J.H. D'accord en quoi ?
Bon, pour une fois regarde-toi dans la glace et exprime-toi honnêtement.
Deux hypothèses :
1- les probabilités sont basées sur des notions sérieuses (déjà cité), indépendamment de K.
2- l'axiomatique de K. balaye tout et donne la vérité (!).
PS Pour vérification, le générateur Genrand a balayé d'un coup les essais réalisés de façon parfaitement honnête et indépendante d'un membre nomme Le_jeu. L'intervenant, dont le pseudo est Nuage (toujours actif) a apporté un générateur "malhonnête". Bon il y a deux solutions, soit tout va bien il a agi dans son propre intérêt, n'en parlons plus, soit il s'agit de maths et donc de rigueur, et il faut creuser le sujet.
Bonne soirée.
PS2, l'imagine que cela peut être étonnant et désagréable que le "paradoxe" de Bertrand soit contre-dit par une démonstration incontestable. C'était tellement pratique de sortir "quelle loi ?" c'est à dire "quelle solution vous ferait plaisir ?"
#243 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 19:32:35
Ben oui.
Pour toi, qui est "on" ? Si c'est la machine, alors non elle ne le sait pas. Si c'est le joueur intelligent et qu'il dispose d'un papier et d'un crayon et qu'il note au fur et à mesure, alors oui.
Petite référence à un sujet auquel tu as participé, je crois. Nuage a sorti un générateur de nombres aléatoires. Ce générateur agissait exactement comme tu sembles le sous-entendre "on" = la machine se souvient des tirages précédents. Ce simulateur s'appelait GenRand (j'emploie de passé parce qu'il est maintenant introuvable). Mais si ça t'intéresse je l'ai toujours dans ma machine.
Tu sais, c'est vraiment intéressant, si K. lit ce forum, il doit se retourner dans sa tombe. Il a bien essayé de construire une vague théorie, mais la dure réalité lui donne tort.
[Edit] En fait K. doit bien rigoler, pour plaire au parti politique, il a inventé un truc marrant et des quantités de gens sont tombés dans le panneau. Les gens comme Gauss, Laplace et leurs copains n'ont raconté que des c... et lui redresse la barre.
[en fait, je suis vachement sérieux]
#244 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 18:57:47
Oui, naturellement il y a la même probabilité pour les boules rouges et pour les boules noires. C'est comme à pile ou face.
Dans la simulation, la machine tire à pile ou face. On note les résultats. Si un joueur veut jouer à ça, naturellement il a tout intérêt à noter l'ensemble des résultats, au fur et à mesure. Mais la machine ne fait que compter. C'est pas très difficile de faire une telle simulation.
Mais si tu veux, je peux t'indiquer le moyen que le joueur gagne, si tu me promets de le répéter à personne.
#245 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 18:30:24
bonsoir,
Cela me rappelle le sujet suivant : dans un contexte de casino, il y a des boules rouges et des boules noires.
Supposons que le Rouge soit sorti N fois en suivant, est-il intéressant de parier sur Noir, ou pas ?
Pour simuler cela, j'ai réalisé un tirage de 250 000 coups.
Ci joint le résultat. Pardon pour l'ancienneté du document, mais je suis prêt à le refaire si nécessaire
http://www.dlzlogic.com/Rouge_Noir.jpg
Le principe est le suivant. L'évènement étudié est le nombre de série de 1, 2, 3, 4 etc suites continues de boules de même couleur. Sur le graphique manuel, c'est noté de A à I.
En partie supérieure, le listing résultat. En bas, manuscrit les valeurs théoriques.
On constate que la réalisation correspond très bien avec les valeurs théoriques, ce qui est normal, puisque pour un grand nombre le résultat tend vers sa probabilité.
Le rapport avec le jeu de Léon, le joueur a tout intérêt à réfléchir avant de jouer.
[Edit) Ceci dit, le jeu ne m'intéresse pas.
#246 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 14:04:51
Salut Léon,
Su sais, on a déjà tellement échangé que tu sais exactement de quoi je parle et réciproquement.
J'aime bien ton expression "devient une branche rigoureuse des mathématiques."
Par exemple, irais-tu jusqu'à dire que la démonstration de Jacques Harthong, professeur de mathématiques à l'université de Strasbourg, sur le "paradoxe" de Bertrand (lien cité dans le présent sujet) n'est pas mathématiquement rigoureuse ?
Avant K., cette branche n'était pas mathématiquement rigoureuse ?
Tu sais, le simple fait de lire la question "quelle loi de probabilité" posée par quelqu'un montre sa méconnaissance ou son ignorance des probabilités. Rappelle-toi le cas des ampoules : le constructeur avait oublié de marquer sur le culot la loi de probabilité de sa durée de vie.
#247 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 13:19:31
Un premier exemple naïf, c'est celui du défi de lancer consécutivement 100 fois une pièce sur sa face (probabilité 1/2^100)
et de gagner 2^101 euros. Si on paie 1 euro le droit de jouer, alors l'espérance est de 2101×12100−1=1>0. Bien que l'espérance soit positive, je ne me lancerai pas dans ce jeu car il est fort probable (de probabilité 1−12100) que je perde simplement 1 euro. Mais la probabilité 1−12100 n'est pas exactement 1, donc il existe toujours une chance de gagner le gros lot.
En comptant 1 jet toutes les 4 secondes, 35 heures par semaine, et 48 semaines dans l'année, je trouve, sauf erreur, qu'on arrivera à ce résultat au bout d'environ 85.10^22 siècles. Il faudra beaucoup de persévérance.
#248 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 16-07-2016 12:07:50
Bonjour Freddy,
Toujours aussi sûr de toi, et les lecteurs ajouteront probablement d'autres qualificatifs à t'attribuer. Je leur en laisse le soin.
Je ne suis pas un fan de Wiki, mais leur définition de ce qu'on entend généralement par "espérance mathématique" me parait assez clair.
En théorie des probabilités, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle est, intuitivement, la valeur que l'on s'attend à trouver, en moyenne, si l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire. Elle se note E ( X ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} (X)} \scriptstyle \mathbb E(X) et se lit « espérance de X ».
Elle correspond à une moyenne pondérée des valeurs que peut prendre cette variable. Dans le cas où celle-ci prend un nombre fini de valeurs, il s'agit d'une moyenne pondérée par les probabilités d'apparition de chaque valeur. Dans le cas où la variable aléatoire possède une densité de probabilité, l'espérance est la moyenne des valeurs pondérées par cette densité. De manière plus théorique, l'espérance d'une variable aléatoire est l'intégrale de cette variable selon la mesure de probabilité de l'espace probabilisé de départ.
La présentation intuitive de l'espérance exposée ci-dessus est la conséquence de la loi des grands nombres : l'espérance, si elle existe, est la limite presque-sûre de la moyenne des résultats au cours de plusieurs expériences, quand leur nombre augmente à l'infini.
Il est vrai que mes connaissances des probabilités à la Kolmogorov sont proches de celles du débutant. J'ai lu énormément de cours, et à part une liste répétitive du type "Proposition ... Preuve ...", je n'ai vu aucune logique et aucun aboutissement constructif. Par contre, ces cours sont une source inépuisable d'exercices aussi tarabiscotés les uns que les autres. Donc, toutes les recettes de cuisine, utilisation de dés à jouer où on confond (ou assimile) repérage d'une face et nombre entier pouvant être ajouté. Parfois on trouve des arguments complètement faux comme, pour le dernier que j'ai lu, le paradoxe de Bertrand. Ou le jeu de MH, présenté comme un problème de probabilité difficile, bref des tas de raison d'arrêter de lire. Enfin, chose bizarre, les notions et lois fondamentales, comme le hasard, la loi normale, la loi des grands nombres, le TCL, sont traités en annexe, lorsqu'ils sont traités.
Je sais que les statisticiens sont des grands utilisateurs des probabilités, j'imagine mal comment il arrivent à s'y retrouver. Peut-être vas-tu me dire que les statistiques et les probabilités sont deux choses différentes, alors, je répondrai "Ah".
Je te rappelle, Freddy, que tu ne m'as toujours pas dit ce que tu reprochais à mes différents papiers, tant les deux premiers que les suivant qui sont des réactions à des sujets lus sur les forums.
Et toi, il t'es arrivé d'écrire quelque-chose (bien-sûr, à part les insultes systématiques dépourvues de la moindre argumentation) ? As-tu été à ce point vexé que je te propose de simuler le problème des 5000 boites noires de la TV ? ou, y a-t-il autre-chose ? En ce cas sans être particulièrement curieux, j'aimerais bien le savoir ?
#249 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 15-07-2016 22:03:07
Je ne suis pas très doué dans ce genre de graphisme, alors j'essaye de traduire, et tu me diras si c'est ce que tu as voulu écrire.
Soit X une variable aléatoire discrète prenant ses valeurs dans N , avec Pr(X=i)=pi≥0 et ∑ipi=1 .
Alors E(X)=∑kk×pk désigne l'espérance mathématique de la variable aléatoire X (si la série est convergente).
Soit une variable aléatoire X prenant ses valeurs dans N. Donc X peut avoir n'importe quelle valeur d'entier naturel, donc positif et illimité.
Par exemple X peut prendre les valeurs 2, 35, 75, 2587, 2865, 5642378. Et aussi toutes les autres valeurs que j'ai pas écrites.
Ou alors X appartient à l'ensemble [0 ; oo[.
Soit pi la probabilité que X = i.
On suppose que X est une variable aléatoire et i un nombre. cette probabilité étant supérieure ou égale à zéro.
On pose aussi que la somme des pi, c'est à dire la somme des probabilités pour tout i est égale à 1.
En d'autre termes, chaque valeur de i pour X (ou réciproquement) est telle que la somme des probabilités est 1. Il me parait sous-entendu que toutes les pi sont égales. La probabilité est la même que X = 35 ou X=2865.
L'espérance est la somme des produits de k * pi.
Comment est défini k ?
Il faut peut-être sous-entendre "pour tout k", mais une somme est constituée d'un certain nombre de termes, nombre connu et fixé.
Désolé, mais je ne comprends pas.
Naturellement, j'ai bien compris ce qu'on voulait dire par "espérance" : c'est la moyenne arithmétique (éventuellement pondérée), avec un "biais".
La définition de "biais" reste à préciser.
Peut-être que si tu donnais un exemple, je comprendrais mieux.
Bonne soirée.
#250 Re : Café mathématique » La loi des grands nombres » 15-07-2016 19:59:29
Un petit point d'attention : quand Dzl dit que l'expérance mathématique d'une v.a n'existe pas, et soutient qu'on ne peut calculer que celle d'un gain, il faut ignorer ce genre de remarque uniquement frappée au coin d'une ignorance qui s'ignore. Désolé, faut que le dise, voire le répète.
'Cest pas bien ce que tu fais. J'ai dit que la définition de l'espérance mathématique était le produit de la probabilité par le gain. Ce que dit exactement l'auteur de la vidéo dont il est question.
J'ai longtemps cherché une définition de l'espérance mathématique. Je me souviens de celle de Wiki "ce qu'on s'imagine que peut être résultat" (de mémoire). Je n'en ai pas trouvé d'autre (en tout cas de mémoire).
Je suis sûr que cela ferait avancer les choses si tu donnais une définition de l'espérance mathématique.