Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Je ne résiste pas au plaisir de montrer ce qu'on peut faire en descriptive avec nos moyens modernes (GeoGebra).
La figure est relativement "simple" et peut être comprise par tout le monde.
Voici une épure représentant un tore et un plan bitangent de bout avec sa trace frontale [tex]P[/tex]

On utilise un plan auxiliaire horizontal [tex]\Pi[/tex] qui coupe le tore suivant deux "parallèles" : les cercles représentés en pointillé sur la projection horizontale. Ce plan coupe le plan $P$ suivant une droite (en vert) dont la projection frontale se réduit au point $d'$.
L'intersection de cette droite et des "parallèles" précédents donne 4 points courants de l'intersection tore/plan $P$ : ce sont des ellipses (rouges) en projection horizontale rabattues en vraie grandeur dans ce plan en magenta : les cercles de Villarceau.
Un lien https://www.geogebra.org/m/rfktwwzf où on peut modifier le tore via le curseur et le plan auxiliaire $\Pi$ voire l'animer.
[Edit] Je viens de m'apercevoir, grâce à bibmaths, que nous fêtons aujourd'hui même l'anniversaire de la naissance de Gaspard Monge. 278 ans ! Ça fait rêver ...

Ah ! DrStone, je constate aussi que tu es "bienveillant". Parmi les forum de maths que je fréquente, cette bienveillance tend à disparaître..
C'est tout à fait désolant.
Ce soir c'est cuit mais je ne manquerai pas de revenir sur ce fil (avec le Roubaudi mais pas que) demain.
Bonne soirée à toi et merci pour ton dernier message très élaboré.

Je commence par le plus simple (pour moi) à savoir une image d'un sujet/épure ENS :
https://zupimages.net/viewer.php?id=24/19/vkpt.jpg
Bon, j'ai un mal de chien à poster une image. Il faudra se contenter du lien.

Bonjour DrStone et encore une fois merci pour cette page.
Il semble qu'elle émane de l'éditeur Masson.
Côté descriptive, je possède entre autres le Roubaudi 8ème édition (1ère édition en 1916 !) qui est pour moi une bible sur le sujet. Je n'ai jamais rien vu de comparable.

Bonjour,
J'aime beaucoup la géométrie descriptive. Je pense me procurer le volume V (Commissaire et Cagnac) fascicule 1 qu'on trouve assez facilement d'occasion. Mais qui dit fascicule 1 dit aussi fascicule 2 (que je ne trouve pas).
Si DrStone repasse par ici, pourrait-il m'indiquer les grandes lignes de ce fascicule 2 et peut-être poster une image de sa couverture.
Je sais : c'est beaucoup demander mais qui ne tente rien n'a rien.
Merci d'avance.

Bonjour à tous,
Je suis tout à fait sidéré par la présentation de ses problèmes par topsi.
C'est exceptionnel malheureusement mais ça mérite d'être souligné.
Merci à lui !

Bonjour,
Une "explication sans calculs" me semble difficile. Au reste, les "calculs" en question sont très simples :

  $\begin{cases}u_{n+1}=\alpha u_n+\beta\\\ell=\alpha\ell+\beta\end{cases}$ où $\ell=\dfrac{\beta}{1-\alpha}$

et on a immédiatement par différence: $u_{n+1}-\ell=\alpha (u_n-\ell)$ soit $v_{n+1}=\alpha \,v_n$

Que veux-tu de mieux comme "explication" ?

Bonjour vam,
À vrai dire je n’ose même plus regarder mes propres sujets (pour ne pas en rajouter). Les compteurs continuent à grimper de façon anormale à mon avis (pour ce fil aussi).
Le compteur de vues : quand tu ouvres un sous forum, apparaît des intitulés sur 4 colonnes : « Discussion », «Réponses », « Vues » et « Dernier message ».
Il s’agit de la troisième colonne. Rien à voir avec les trois Pierre : Lazareff, Desgraupes et Dumayet.

Bonjour à tous,
Un ancien message resté sans réponse : à mon sens, il en mérite une quitte à ce qu'elle soit incomplète.
Les cercles de centres $O$ et $O'$, de rayons $r$ et $r'$ différents (pour éviter les isométries) sont donnés.
Les similitudes (directes ou indirectes) qui envoient le cercle $(O)$ sur le cercle $(O')$ ont pour rapport de similitude (positif) $k=\dfrac{r'}{r}$ avec $k\not=1$

Soit $\Omega$ son centre pour une similitude directe ou son unique point fixe pour une similitude indirecte :

  $k=\dfrac{\Omega O'}{\Omega O}=\dfrac{r'}{r}$

Le lieu de $\Omega$ est un cercle d'Apollonius relatif aux points $O$ et $O'$ et de rapport $k$.
C'est le cercle de diamètre $[IJ]$ où $I$ et $J$ sont les centres d'homothétie des deux cercles donnés (points de concours des tangentes communes non tracées sur la figure).
C'est aussi le lieu des points desquels on voit les deux cercles sous le même angle. (Sur la figure, les deux cercles donnés sont non sécants et les tangentes issues de $\Omega$ existent toujours). 

Dans le cas direct, la similitude est le produit commutatif d'une homothétie de rapport $k$ et d'une rotation de même centre $\Omega$ et d'angle $\alpha=(\overrightarrow{\Omega O},\overrightarrow{\Omega O'})\,\,[2\pi]$
Dans le cas indirect, la similitude peut être décomposée en le produit commutatif :
  - d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ et d'une symétrie axiale d'axe $\delta$ (son axe principal).
  - d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $-k$ et d'une symétrie axiale d'axe $\delta'$ (son axe secondaire).

A une certaine époque, tout ceci était classique, et figurait en bonne place dans un cours de géométrie au lycée. On peut par exemple consulter le célèbre (?)  Lebossé & Hémery de Mathélem.

Bonjour Zebulor,
L'inégalité (1) est vraie et démontrée. Par contre la fin était très "optimiste". Pas un clou parce que je n'ai rien démontré du tout relativement à la question initiale.
J'en profite pour poser une question à la modération :
Est-il permis, si ce n'est souhaitable, d'exhumer des fils restés sans réponses satisfaisantes voire sans réponse du tout ?

Bonjour à tous,
J'exhume un tantinet en supposant qu'il est intéressant de relancer ce fil. Je propose une solution qui a une faiblesse (peut-être rédhibitoire). Les intervenants plus affutés que moi pourront dire ce qu'ils pensent à propos d'une certaine borne supérieure d'un ensemble :

Zebulor a écrit plus haut qu'il était facile de démontrer que
$\forall (a,b,c)\geq 0, \,\, \dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
par exemple en majorant chaque fraction par $\dfrac{a}{a^2+2}$ et permutation circulaire.

J'affirme et c'est la faiblesse mentionnée plus haut, que la quantité $\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}$ admet un plus petit majorant. Appelons-le $M$.

Montrons maintenant que $\forall(a,b,c)\geq 0,\quad \dfrac{a+b}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b+c}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c+a}{c^2+a^2+2}\leq \dfrac{3}{2}$ (1)
En éliminant les cas où au moins deux des réels $a,b,c$ sont nuls, on effectue le changement de variable :

  $\begin{cases}a=1+x\\b=1+y\\c=1+z\end{cases}$ avec $\begin{cases}x>-1\\y>-1\\z>-1\end{cases}$. L'inégalité (1) se traduit par :

$\dfrac{1}{2+\dfrac{x^2+y^2}{2+x+y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y^2+z^2}{2+y+z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z^2+x^2}{2+z+x}}\leq \dfrac{3}{2}$ qui est vraie avec égalité pour $x=y=z=0$ soit $a=b=c=1$.

On peut écrire (1) sous la forme :

    $\underbrace{\dfrac{a}{a^2+b^2+2}+\dfrac{b}{b^2+c^2+2}+\dfrac{c}{c^2+a^2+2}}_{\leq M}+\underbrace{\dfrac{a}{a^2+c^2+2}+\dfrac{b}{b^2+a^2+2}+\dfrac{c}{c^2+b^2+2}}_{\leq M}\leq \dfrac{3}{2}$

On en déduit que $2M=\dfrac{3}{2}$ soit $M=\dfrac{3}{4}$ avec égalité atteinte pour $a=b=c=1$

A vos critiques !