Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour Bernard-maths,

Je n'ai pas compris les remarques de ton second message:
le second graphique est celui d'une fonction en créneau, égale à l'unité sur le domaine ]-3 ; +3[ , et nulle partout ailleurs, alors que
# le rapport r = h(x)/h(x) n'est pas défini pour Abs(x) ≥ 3 , et que
# tu le déclare constamment égal à 1d'après le troisième graphique ... il y a quelque chose qui m'échappe.

T'es-tu assuré de la manière dont Maple définit le signe d'un nombre ? Car si le logiciel se réfère au bit correspondant, la réponse est nécessairement binaire: +1 pour (u) positif ou nul, négatif dans l'autre cas. Et par ailleurs rien n'exclut que le calcul du quotient (0/0) conduise d'office à la valeur +1 , afin d'éviter le plantage du programme.

Peut-être devrais-tu te livrer à la vérification de quelques fonctions simples au voisinage de zéro, telles que Abs(xç ou (x/x) ... ou encore

r = (k + h(x))/(k + h(x)) .

Les surprises ne sont pas exclues.

Bon courage!

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_signe

Notation informatique

En langage informatique, la fonction signe peut être obtenue via ( a > 0 ) − ( a < 0 ) .
Les tests d'infériorité et de supériorité produisent une valeur booléenne dont on décide qu'elles projettent la valeur 1  à vrai et 0  à faux. Par ailleurs le signe d'un nombre dans l'ordinateur est représenté par un seul bit, et l'ordinateur ne reconnaît à un nombre que deux signes, soit positif soit négatif, et considère le zéro comme une valeur positive en notation en complément à deux, on utilisera donc en pratique la formule ( a ≥ 0 ) − ( a < 0 ) .

Re-bonjour Bernard-maths,

Je crois que ce que tu as construit et représenté (1) est plutôt une dipyramide allongée (2) plutôt qu'un antidiamant (3), lequel ne comporte pas de faces rectangulaires.

Cela s'apparente à 3 des solides de Johnson (n° 14, 15, 16), qui résultent de l'assemblage de polygones réguliers.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Dipyramide_allong%C3%A9e
https://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_de_Johnson

Petit détail: je n'ai pas compris la raison de l'intervention de deux préfixes différents (bi, di) ... mais tu n'y es évidemment pour rien !

Bonsoir Cailloux,

En effet, je n'ai pas envisagé le cas de deux segments colinéaires, avec ou sans superposition.
Le chevauchement partiel doit conduire à des domaines à bords parallèles illimités.

PS: ... ce que j'ai vérifié dans 3 cas; le résultat, prévisible, est plus banal.

Il faut si j'ai bien compris que les 2 premiers côtés vérifient:
a² + b² + (ab)² = (ab + 1)²
soit
a² + b² + a²b² = a²b² + 2ab + 1
d'où
a² + b² -2ab = 1 et finalement: a - b = ± 1 .

Les deux premiers termes doivent différer de l'unité.

Ex: a = 10, b = 11; ab = 110; d = 12232 = 111².

Je découvre à l'instant ton second message.

Bonjour,

Chaque terme d'une suite de Fibonacci est par définition la somme des deux précédents; il vient par conséquent pour quatre termes consécutifs (a, b, c, d): c = a + b et d = b + c = a + 2b .

Considérons dès lors les grandeurs X= ad, Y = 2bc et Z = b² + c² ; il vient en développant les expressions des carrés:

X² = [a(a + 2b)]² = [a² + 2ab]² = a⁴ + 4a³b + 4a²b² ;
Y² = 4b²c² = 4b²(a + b)² = 4a²b² + 8ab³ + 4b⁴ ;
Z² = (b² + c²)² = (a² + 2ab + 2b²)² = a⁴ + 4a²b² + 4b⁴ + 4a³b + 8ab³ + 4a²b²

soit encore en ordonnant les termes:

Z² = a⁴ + 4a³b + 8a²b² + 8ab³ + 4b⁴ .

On vérifie aisément que le calcul de la somme (X² + Y²) conduit à une expression identique.

Ainsi se vérifie la relation X² + Y² = Z² , qui fait du triplet (X, Y, Z) un triplet pythagoricien.

Une vérification numérique rapide peut être effectuée sur calculatrice, par le calcul programmé de la grandeur g = X² + Y² - Z² , qui apparaît systématiquement nulle quel que soit le rang des termes impliqués, pourvu qu'il s'agisse d'une suite de Fibonacci, caractérisée par la relation u_k = u_k-1 + u_k-2 .
Exemples: la suite dont tu as envisagé le début (a, b, c, d) = (1, 1, 2, 3)
ou encore une autre commençant par (a, b, c, d) = (4, 7, 11, 18).

Disposes-tu d'une calculatrice programmable ? Elle permet des calculs très rapides, et tu gagnerais beaucoup à savoir l'employer.

PS: des vérifications analogues sont certainement possibles sur tableur Excell

Bonsoir,

C'est épatant ! Je ne connaissais pas - ou avais complètement oublié - cette relation ...
Merci pour l'info.

Bonjour,

J'ai trouvé pour (r) la racine d'une équation non-algébrique:
r = 0.366 983 140 344 960 ± 35E^-15 .
La calculatrice ne me permet pas d'aller plus loin. L'énigme est intéressante tant par la concision de l'énoncé que celle de la solution.

Bonjpur,

À tout point du plan de coordonnées réelles (x, y) on associe l'entier plafond déductible de la valeur locale de la fonction considérée:

K = Ceil(|x-3| + |x+2| + |y-4| - 5) ,

puis le pixel défini par les relations

Px[1]:= 255 - Ceil((255/4) * (K MOD 5) ,
Px[2]:= Ceil((255/5) * (K MOD 6) ,
Px[3]:= Ceil((255/6) * (K MOD 7) .

J'ai perdu beaucoup de temps sur la palette de couleurs. On peut faire mieux.

L'unité de longueur correspond ici à (701 - 1) DIV 30 = 23 pixels.

Bonjour,

L'équation posée |x-3| + |x+2| -5+ |y-4| = 0
n'admet comme seule solution: y = 4 sur le domaine [-2 ; +3] des valeurs de (x).

Il suffit d'envisager les 6 expressions possibles de F(x, y).

On pourrait éventuellement envisager une relation un peu différente: |x-3| + |x+2| + |y-4| = 5 + h .

Cordialement, W.

Bonjour,

Les fonctions citées g(x) = (e^nx - 1)/(e^nx +  1) font en fait intervenir la fonction tangente hyperbolique:

g(x) = Tanh(nx) ;

et comme le résultat attendu est un entier (0 ou ±1), il faut procéder à un transtypage par recours à l'arrondi à l'entier le plus proche, en utilisant

g₁(x) = Round(Tanh(nx)) ,

ce qui évite de confier au processeur l'approximation douteuse g(x) ≈ 1 pour x > 0 .

On a de plus: Tanh(1) = 0.761594 ce qui permet l'emploi d'une fonction plus simple:

g₂(x) = Round(Tanh(x)) .

Enfin, la solution envisagée présente une complication calculatoire extravagante par rapport à la définition algorithmique de fa fonction Sgn(x), qui ne demande aucune opération arithmétique ni recours à une fonction transcendante.

... Et je le répète, la fonction en cause f = (S+|S|*Sgn(x))/2 + x = f(x, S) dépend non pas d'une seule mais de deux variables (voir #18); mais elle résume l'algorithme à mettre en œuvre.

Bonjour,

Pas exactement, parce que le signe du zéro n'est pas défini, et la fonction doit alors retourner zéro (faute de mieux).
Il suffit d'écrire l'algorithme complet et symétrique:

Remarque: J'espère que l'indentation est respectée.

On obtient le même résultat en utilisant la fonction H(x).

Bonjour Bernard-maths,

Il doit s'agir a priori d'une relation où interviennent deux constantes positives (a, b), et de la forme:

Min(a|x|, a|y|,  a|z|, b|x + y + z|, b|x + y - z|, b|y + z - x|, b|z + x - y| = 1 .

Il me semble que tu as déjà développé des calculs de ce genre.