Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Il suffit de bien choisir le repère (qui n'est pas imposé par l'énoncé)).
Rien n'empêche dans l'énoncé de choisir le centre du cercle comme origine du repère orthonormé et de  mettre le point A sur cet axe (on a alors A(0;R)

Comme l'angle AMB est droit, avec M sur le cercle, le point B est diamétralement opposé au point A.

Et on arrive de suite à la relation que j'ai donnée.

Cela dépend de ce qui est cherché.

Si tu veux le taux moyen annuel qu'il faut pour, après la capitalisation sur 10 ans, avoir les sommes obtenues au terme des 10 ans, alors :

on trouvera ta valeur, soit 0,00607091180177743 ... qu'il faut multiplier par 100 pour l'avoir en %

Bonjour,
Binôme de Newton

Pour |x| < 1

[tex] (1 + x)^n = \Sigma_{k=0}^{\infty} C_n^k x^k = 1 + n.x + \frac{n(n-1)}{2!} x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}.x^3 + … [/tex]

[tex] (1 + 0,0061)^n  = 1 + 10*0,0061 + \frac{10*9}{2} * 0,0061^2 + \frac{10*9*8}{6}.0,0061^3 + … [/tex]

[tex] (1 + 0,0061)^n  = 1 + 0,061 + 0,00167445 + 0,00002723772 + … [/tex]

Ici, même en s'arrêtant à 3 termes, on a : [tex] (1 + 0,0061)^n  \simeq 1 + 0,061 + 0,00167445  = 1,06267...[/tex]

Rebonjour,

Je refais le problème ... conformément à l'énoncé originel et sans arrondi de calculs.

Le premier jour, l'escargot monte de 8/255 m
Le 2èmer jour, l'escargot monte de 8/255 * 2 = 16/255 m
...
Le 8ème jour l'escargot monte de 1024/255 m ... et atteint alors exactement une hauteur de 8 m

Le 7éme jour, la hauteur atteinte par l'escargot est de 1016/255 m
Il lui manque donc 4 - 1016/255 = 4/255 m pour atteindre 4 m

Si (supposition gratuite), l'escargot avance à vitesse constante pendant chaque jour complet ...
Sa vitesse en court du 8ème jour est 1024/255 m /jour
Il lui faudra (en plus des 7 jours), une durée de (4/255)/((1024/255) = 1/256 jour pour atteindre 4 m

Donc (à partir de cette hypothèse discutable), l'escargot atteint 4 m après 7 jours et 1/256 jour (soit 7,00390... jour)
Soit donc 7 jours ... "à rien près" (et sans modifier le sens de l'énoncé).

Bonjour,

"Or pour pouvoir donner cette réponse, il faut comprendre que la distance parcourue au terme du jour n est égale au double de la distance parcourue au total lors des n-1 jours précédents."

Ben non :

En respectant l'énoncé.

Si je calcule la distance parcourue le 1er jour, je trouve 0,031272... m (arrondi)

1er jour : monte de 0,031272 m et donc hauteur atteinte = 0,031272 m
2eme jour : monte de 2 * 0,031272 = 0,062744 m et donc hauteur atteinte = 0,0031272 + 0,062744 = 0,094116 m
3eme jour : monte de 2 * 0,062744 = 0,125488 m et donc hauteur atteinte = 0,094116 + 0,125488 = 0,219604 m
4eme jour : monte de 2 * 0,125488 = 0,250976 m et donc hauteur atteinte = 0,219604 + 0,250976 = 0,47058 m
5eme jour : monte de 2 * 0,250976 = 0,501952 m et donc hauteur atteinte = 0,47058 + 0,501952 = 0,972532 m
6eme jour : monte de 2 * 0,501952 = 1,003904 m et donc hauteur atteinte = 0,972532 + 1,003904 = 1,976436 m
7eme jour : monte de 2 * 1,003904 = 2,007808 m et donc hauteur atteinte = 1,976436 + 2,007808 = 3,981244 m
8eme jour 2 monte de 2 * 2,007808 = 4,015616 m et donc hauteur atteinte = 3,981244 + 4,015616 = 7,99986 m

On a donc bien 8 m atteints  (à rien près, à cause de l'arrondi dans les calculs) le 8ème jour ...

Et on a bien 4 m (à rien près) atteint à la fin du 7ème jour.

Bonjour,

Question posée à l'IA:
l'IA ne semble pas du tout au point pour traiter beaucoup de problèmes, même élémentaires, en Mathématiques ou en Physique. Pourquoi ?

Sa réponse :

Il est vrai que l'IA, en particulier les modèles de langage actuels, peut sembler défaillante face à de nombreux problèmes complexes de mathématiques ou de physique
. Cette difficulté s'explique par plusieurs limitations fondamentales de la manière dont ces systèmes fonctionnent, notamment leur approche statistique, leur manque de véritable raisonnement logique et leur difficulté à comprendre les concepts physiques de manière intuitive.
La faiblesse de l'approche statistique
Les grands modèles de langage (LLM) comme celui-ci ne "pensent" pas au sens humain. Ils fonctionnent en prédisant le mot suivant dans une séquence en se basant sur d'énormes quantités de données textuelles avec lesquelles ils ont été entraînés.

    Absence de compréhension conceptuelle : Pour un LLM, une équation ou un problème de physique n'est qu'une suite de jetons (mots et symboles) qu'il doit compléter de manière statistiquement probable. Il n'a pas de compréhension inhérente des principes sous-jacents, comme la conservation de l'énergie ou les propriétés d'une intégrale.
    Risque d'hallucination : S'ils n'ont pas vu d'exemple similaire dans leurs données d'entraînement, ils peuvent générer des réponses qui semblent plausibles mais qui sont en réalité fausses. Ce sont les "hallucinations" de l'IA, particulièrement problématiques en mathématiques où la précision est primordiale.
    Problèmes multi-étapes : Les erreurs tendent à se propager et à s'aggraver dans les problèmes qui nécessitent plusieurs étapes de raisonnement. Un LLM peut commettre une erreur subtile au début et aboutir à une conclusion complètement incorrecte, tout en exprimant une grande "confiance".

Le manque de raisonnement logique et symbolique
Contrairement aux systèmes de calcul formel ou aux démonstrateurs de théorèmes, les LLM ne sont pas des systèmes logiques déterministes.

    Non-déterminisme : Un même problème peut produire des réponses différentes et parfois incorrectes à chaque tentative, car le modèle peut suivre un chemin de raisonnement différent.
    Difficulté avec le raisonnement compositionnel : L'IA a du mal à combiner des principes plus simples pour résoudre des problèmes complexes. Par exemple, elle pourrait être capable de résoudre des problèmes distincts sur la gravité ou le frottement, mais échouer à comprendre leur interaction dans une situation nouvelle.

L'absence de compréhension incarnée de la physique
La physique se base sur des concepts et une intuition du monde physique que les humains développent en interagissant avec leur environnement.

    Pas d'expérience physique : Les IA actuelles traitent la physique comme un ensemble de relations mathématiques abstraites plutôt que comme des expériences vécues. Elles ne peuvent pas "ressentir" la gravité ou la friction, ce qui limite leur capacité à modéliser intuitivement des scénarios physiques.
    Environnements complexes : Le monde réel est dynamique et chaotique. Les IA ont du mal à généraliser leur connaissance à des environnements non structurés, par rapport aux humains qui s'adaptent rapidement à de nouvelles situations.

Des progrès en cours, mais des limites subsistent
Il est important de noter que la recherche dans ce domaine est en constante évolution.

    Chaîne de pensée (CoT) : Des techniques comme le Chain of Thought (chaîne de pensée) aident les modèles à décomposer les problèmes complexes en étapes intermédiaires, améliorant ainsi leurs performances.
    Outils externes : En se connectant à des interpréteurs de code ou des calculateurs symboliques, les IA peuvent exécuter des fonctions mathématiques de manière plus fiable, mais la partie raisonnement de haut niveau reste un défi.
    Recherche de pointe : De nouvelles architectures et techniques, parfois appelées "IA physique", tentent d'intégrer une meilleure compréhension du monde physique. Cependant, ces travaux sont encore loin d'offrir une solution universelle pour le moment.

Les réponses de l'IA peuvent contenir des erreurs. En savoir plus

Par expérience personnelle (surtout en problèmes élémentaires de Physique), les solutions proposées par l'IA sont très souvent complètement fausses... mais présentées tellement joliment et avec assurance que les non initiés se font berner.

Bonjour,

**********
L'affichage avec n = 1000 est :
Les nombres entiers inférieurs ou égal à 1000 avec  32 diviseurs sont :
840

Si on remplace n = 1000 par n = 10, l'affichage est :
Les nombres entiers inférieurs ou égal à 10 avec  4 diviseurs sont :
6
8
10

Si on remplace n = 1000 par n = 10000, l'affichage est :
Les nombres entiers inférieurs ou égal à 10000 avec  64 diviseurs sont :
7560
9240

Programme très mal écrit ... mais qui a l'avantage de donner toutes les solutions.

0 pour le style de programmation.
10 pour les résultats affichés.

:-)

Bonjour,

Une erreur ...

Il faudrait être plus précis pour ne pas nous obliger à tout refaire.

Je fais le premier changement de variables.

On peut y arriver en posant x² = 1/u (ce qui est inutilement compliqué, mais soit)

2x dx = -du/u²
dx = -du/(2u²x) = -du/(2u²(sqrt(u))

ln(x) = ln(sqrt(1/u)) = 1/2.ln(1/u) = -1/2.ln(u)
ln²(x) = 1/4 * ln²(u)

x^4-x²+1 = (1/u² - 1/u + 1) = (u² - u + 1)/u²

[tex]I = \int_{\infty}^0 - \frac{1/4 * ln^2(u) * \frac{\sqrt{u}}{2u^2}}{\frac{u^2-u+1}{u^2}} du[/tex]

[tex]I = \frac{1}{8} \int_0^{\infty}\sqrt{u}.\frac{ln^2(u)}{u^2-u+1} du[/tex]

bonjour,

1 octet = 1 Byte = 8 bits.

Bonjour,

Ta dernière formule et la mienne sont équivalentes.

Un = exp(ln(u0/2)*2^n + ln(2))

Un = exp(ln(2)) * exp(ln(u0/2)*2^n)

Un = 2 * exp(ln(u0/2)*2^n)

Un = 2 * [exp(ln(u0/2))]^(2^n)

Un = 2 * (u0/2^(2^n)

Un = uo^(2^n) * 2^(1 - 2^n)

Personnellement, je préfère la mienne qui ne nécessite ni des ln(), ni des exp() ...  mais question de goût.

Bonjour,

Plusieurs choses ne vont pas.

Par exemple si on choisit Uo = 3 (à la place de 4)

On a U1 = 3 * 3/2 = 4,5
Et ta formule donnerait : U1 = u0 * 2^(2^1 - 1) = 3 * 2^1 = 6

Ta formule semble fonctionner ... mais ce n'est pas le cas pour tous les Uo.
Cela fonctionne dans le cas particulier Uo = 4 ... mais pas pour d'autres valeurs de Uo

Pour moi, j'arrive à Un = Uo^(2^n) * 2^(1 - 2^n) ... qui devrait être OK pour tous les Uo.

Néanmoins, la suite Un n'est pas géométrique.

Bonjour,

Pour dresser le tableau des variations, de manière classique, on étudie la dérivée première et son signe, les limites aux bornes de l'ensemble de définitions, quelques valeurs à des points critiques ...

Mais rien n'empêche, de chercher la dérivée seconde et son signe et de l'inclure dans le tableau (même si on ne le fait pas systématiquement)

On a ainsi également des informations sur les points d'inflexion, anguleux ou de rebroussement.

Jadis, si on omettait cette partie alors qu'elle était utile dans le cas étudié ... on était pénalisé.