Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
je cherche à montrer que pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$ et pour tout $l \in \mathbb{N}$ la fonction $x \to ||x||^l |D^{\alpha} e^{-x^2}|$ est bornée dans $\mathbb{R}$.
Bon on sait que pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$ on a $D^{\alpha} e^{-x^2}= P_{\alpha}(x) D^{\alpha} e^{-x^2}$ où $P_{\alpha}$ est un polynôme d'ordre $\alpha$. On remarque aussi que pour tout $\epsilon >0$ il existe $A >0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ on a $|D^\alpha e^{-x^2}| \leq \epsilon$
par contre $||x||^l$ n'est pas borné, donc je n'arrive pas à trouver comment on montre que la fonction $x \to ||x||^l |D^{\alpha} e^{-x^2}|$ est bornée dans $\mathbb{R}$ est bornée.
Merci par avance.

Bonjour
j'essaye de calculer la transformée de Fourier de $x$: $Fx$. On a par définition
$$
Fx= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} x dx.
$$
En utilisant l'ipp, on obtient
$$
Fx= [-\dfrac{x}{i \xi} e^{-i x\xi}]_{-\infty}^{+\infty} + \dfrac{1}{i \xi} \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i x \xi} d\xi
$$
Ma question est comment calculer $[-\dfrac{x}{i \xi} e^{-i x\xi}]_{-\infty}^{+\infty}$? La difficulté est en $-\infty$.
Merci d'avance

Bonjour,
je cherche à démontrer le lemme suivant:
Si $f$ et $g$ sont dans $L^1(\mathbb{R}^n)$ alors $f.(Fg)$ et $(Ff).g$ apartiennent à $L^1(\mathbb{R}^n)$ et on a
$$
\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} f(x) Fg(x) dx = \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} Ff(x) g(x) dx
$$
où $F$  note la transformée de Fourier?

Merci par avance pour toute piste.

Bonjour
je cherche à montrer que si $f$ est continûment dérivable et $f' \in L^1(\mathbb{R})$ alors $F(f')=i(yF(f))$.
Alors on a par définition $F(f')= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ix\xi} f'(x) dx$.
Par ipp on obtient
$$
F(f')= [e^{-ix \xi} f(x)]_{-\infty}^{+\infty} + i \xi \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i x \xi} f(x) dx.
$$
Ma question est que dire tu terme $ [e^{-ix \xi} f(x)]_{-\infty}^{+\infty}$?
Merci d'avance

Bonjour,
j'ai le résultat suivant: Si $F$ est un fermé et $T$ une distribution d'ordre 0 telle que $Supp(T) \subset F$ alors $<T,\varphi>=0$ pour toute fonction test $\varphi$ nulle sur $F$.
Je cherche de l'aide pour connaître les étapes d'une démonstration à ce résultat. Merci par avance pour votre aide.

Bonjour
j'ai l'exo suivant: soit $T$ une distribution sur $\mathbb{R}^n$ et $f$ une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}^n$^à valeurs dans $\mathbb{R}$.
Montrer que si $fT=0$ alors $Supp(T) \subset Z(f)=\{x \in \mathbb{R}^n, f(x)=0\}$.
Je sais par définition que si $x \in Supp(T)$, alors quelque soit $V \in \mathcal{V}(x)$, il existe $\varphi \in \mathcal{D}(V): <T,\varphi> \neq 0$, j'arrive pas à faire le lien avec l'hypothèse $fT=0$ et l'ensemble  $Z(f)$.
Merci d'avance.