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#1 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme entre U et C* ? » 22-07-2025 19:01:08
En fait $U$ et $\mathbb C^*$ sont isomorphes en tant que groupes (mais on ne peut pas exhiber un tel isomorphisme).
Merci pour la réponse, ça c’est vraiment un résultat auquel je ne m’attendais pas du tout ! J’irai lire la page Wikipedia même si ça a l’air de dépasser mes connaissances, j’imagine qu’en m’accrochant je comprendrai l’idée.
Et je repose la question en prenant le risque d’avoir l’air idiot, mais est-ce vrai que même si U était simplement connexe, cela ne suffirait pas à démontrer qu’il n’y a pas d’isomorphisme ? Peut être qu’il me manque juste des connaissances mais je ne vois pas en quoi l’existence d’un isomorphisme entre deux groupes se devrait d’impliquer la conservation de propriétés topologiques qui ne sont justement pas des propriétés de groupes ? C’est peut être pas très clair comme question, mais merci pour à tous pour l’aide en tout cas !
#2 Re : Entraide (supérieur) » Isomorphisme entre U et C* ? » 22-07-2025 07:15:47
Merci beaucoup pour la réponse Rescassol mais je pense que je me suis mal exprimé, car je cherche un isomorphisme de groupe uniquement, sans m’intéresser à la topologie en particulier. Peut être que quelque chose m’échappe,mais la simple connexité n’est pas une notion traduisible dans le langage des groupes si ?
Sinon dans les arguments du même genre j’avais le théorème qui dit que tout sous groupe de U est soit fini soit dense, ce qui n’est pas le cas de C* (exemple R*), mais la densité ne me paraît pas fonctionner non plus si on se limite aux groupes.
#3 Entraide (supérieur) » Isomorphisme entre U et C* ? » 21-07-2025 21:28:57
- mouette
- Réponses : 6
Je me demande s’il existe un isomorphisme entre U le cercle unité et C* les complexes non nuls. J’ai l’impression que non mais les arguments classiques que j’ai essayé (ordre des éléments, torsions, sous groupes infinis, etc) ne m’ont pas permis de conclure. Cette question a pourtant l’air très facile mais je suis à cours d’idée, quelqu’un a déjà rencontré ce problème ?
#4 Entraide (supérieur) » Preuve inhabituelle de P(U) inclus dans U » 11-07-2025 20:54:50
- mouette
- Réponses : 1
Bonjour, je suis retombé sur un exo classique de maths sup récemment :
Quels sont les polynomes de C[X] qui laissent le cercle unité stable ?
Je sais que la méthode "classique" consiste à observer [tex]z^n \cdot \overline{P(z)}[/tex], mais j'ai eu une autre idée dont je ne suis pas sur qu'elle fonctionne.
Je montre d'abord que les polynomes de [tex]\mathbb{R}[X][/tex] qui laissent U stable sont les monomes. Pour cela je m'en donne un, je l'évalue en suffisamment de points du cercle pour trouver une contradiction grace à l'inégalité triangulaire si ce n'est pas un monome.
Puis je considere un polynome [tex]P [/tex] à coefficients complexes qui laisse U stable. On voit bien que [tex]P \overline{P}[/tex] laisse U stable car [tex]P(z) \overline{P(z)} = 1[/tex] si z est dans U. De plus [tex]P \overline{P}[/tex] est réel car à valeurs réelles par lagrange, et donc c'est un monome grâce à mon lemme précédent.
Ensuite il ne reste plus qu'à montrer que [tex]P \overline{P}[/tex] ne peut pas être un monome si [tex]P[/tex] ne l'est pas ce qui est facile, et on conclut.
Est ce que cela vous parait cohérent ou bien j'ai fait une erreur ? J'ai peu détaillé mais je peux expliquer certaines étapes si besoin
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