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Bonjour à tous, je suis actuellement en L3 et je travail sur un DM d'algèbre dans lequel je bloque sur l'interprétation d'une notion :
Dans cet exercice on nous pose un corps [tex]K[/tex], la première question nous demande de montrer que [tex]K[[T]][/tex] est intègre et que [tex]I := TK[[T]][/tex] est son unique idéal maximal. Question que je pense avoir réussi à traiter en montrant que l'ensemble de éléments irréductible de [tex]K[[T]][/tex] est donné par [tex](T) = TK[[T]].[/tex]
Par la suite, on nous défini l'application [tex]v : K[[T]] \to \mathbb{N} [/tex] par [tex]v_T(x) = max\{n \in \mathbb{N} \mid x \in I^n\} [/tex] et [tex]d_T(x,y) := 2^{v_T(x-y)}[/tex].
On considère finalement [tex]A = K((T))\lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex] et [tex]B = K((S))[[T]][/tex] et on nous demande si les suites [tex]((S + T)^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] et [tex]((T+ T^2S)^n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex] sont de cauchy dans [tex]A[/tex] par rapport à [tex]d_T[/tex] ou dans [tex]B[/tex] par rapport à [tex]d_S[/tex].
En nous rappelant que [tex]K((T))[/tex] est le corps des fractions de [tex]K[[T]][/tex] je comprends que [tex]K((T)) \lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex] désigne le corps des série formelle à coefficient dans le corps [tex]K((T))[/tex].

Là où je bloque, c'est d'une part comment proprement représenter un élément de [tex]K((T)) \lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex], j'imagine que les élément devraient être de la forme [tex]P(S,T) = \sum_{i=0}^nQ_i(S)T^i[/tex] où [tex]Q_i(S) \in K((S))[/tex] donc est de la forme [tex]Q_i(S) = \frac{U_i(S)}{V_i(S)}[/tex] pour [tex]U_i, V_i \in K\lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex] mais je ne suis pas certain de celà et j'ignore comment m'en servire convenablement dans ce contexte...
et d'autre part, je ne suis pas certains de cerner ce qui change lorsque l'on permute [tex]S[/tex] et [tex]T[/tex]

Merci par avance pour vos réponse, par ailleurs, si vous connaissez de ressources traitant de l'étude de [tex]K((S))[[T]][/tex] et/ou [tex]K((T))\lbrack\lbrack S \rbrack\rbrack[/tex], je suis également preneur !