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Bonjour, pouvez-vous vérifier les preuves que j'ai écrites pour les propositions suivantes ? En vous remerciant !

1. Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Soit $f \in \mathcal{L}(E,F) $.
On a alors $ f \in \mathcal{L}(F,E) $.
Preuve :
On a que $f^{-1} $ est bijective.
Soit $ ( \lambda , x , y ) \in \mathbb{K} \times E^2 $.
On a $ f \bigl( f^{-1}( \lambda x + y ) \bigr) = \lambda x + y = \lambda f(f^{-1}(x)) + f(f^{-1}(y))
= f(\lambda f^{-1}(x)+f^{-1}(y)) $
donc, par injectivité de $f$, on a $ f^{-1}(\lambda x + y) = f^{-1}(\lambda x)+f^{-1}(y) $
donc $f \in \mathcal{L}(F,E) $

2. Soit $E$ un $ \mathbb{K}-EV $. Soient $ F,G,H $ trois SEV de $E$. On a que $F,G$ et $H$
sont en somme directe si et seulement si $ \forall (x,y,z) \in F \times G \times H, x+y+z = 0
\implies x = y = z = 0 $
Preuve :
On suppose que $F,G$ et $H$ sont en somme directe.
Soit $(x,y,z) \in F \times G \times H$. On suppose $x+y+z = 0$
On a $x+(y+z) = 0+0$ et $(x,y+z) \in F \times (G+H)$ donc $x = 0$ et $y+z = 0$
On a $y+z = 0 + 0$ et $(y,z) \in G \times H$ donc $ y = 0$ et $z = 0$
On suppose que $ \forall (x,y,z) \in F \times G \times H, x + y + z = 0 \implies x = y = z = 0 $.
Soit $ t \in F + (G+H) $. Soit $(x,x',y,y',z,z') \in F^2 \times G^2 \times H^2$.
On suppose $t = x+(y+z)$ et $t = x' + (y+z)$ on a $0+0 = (x-x')+((y-y'))+(z-z')$ et $(x-x',
y-y'+z-z') \in F \times G+H$ donc $x - x' = 0$ et $(y-y'+(z-z')) = 0 + 0$
d'où $x = x'$, $y = y'$, $z = s'$ donc $F \cap (G+H)$ (les autres cas se traitent de manière
symétrique. )

Bonjour,
Bien qu'en terminale je poste ici puisque j'ai un DM (facultatif) un peu ardu à réaliser. Pourriez-vous vérifier si les réponses que j'ai apportées à certaines questions sont correctes, ou à préciser ? En vous remerciant de vos conseils.

1. On suppose qu'un ensemble $E$ est en bijection avec une partie finie de $\mathbb{N}$. Montrer que $E$ est fini au sens de Cantor
Comme $A$ est fini $E$ ne peut pas être en bijection avec un ensemble infini. Par hypothèse $f : E \to A$ est une bijection. Ensuite comme $A$ est une partie finie de $\mathbb{N}$ elle peut être en bijection avec une partie finie de $ \mathbb{N}$ par $ f : B \to A $, par composition $g \circ f : E \to A$ est une bijection donc il est bien fini.

2.aSoit $A \subseteq \mathbb{N}$ avec $A$ une partie infinie. Justifier que $A \cong \mathbb{N}$
On crée une fonction de numérotage $f : \mathbb{N}\to A$.$\forall a \in A$ comme $A$ est une partie infinie $ \mathbb{N}$, il existe un plus petit élément $a_{0}$ dans $ A$. Ainsi $a_{0}$ est atteint car $f(0) = a_{0}$ et il n’y a pas de plus petit élément que $a_{0}$. En itérant ce processus chaque $a$ suivant dans $A$ aura un antécédent. $A$ est infini il n’y a donc pas de plus grand élément. Ainsi pour chaque élément ajouté à la numérotation , il y aura toujours un élément de $A$ à numéroter. D’où le fait que tous les entiers naturels sont nécessaires pour numéroter $A$.Comme $f$ est une injection et une surjection c'est une bijection de $A$ sur $\mathbb{N}$ d’où $A \cong \mathbb{N}$

2.b Soit $E$ un ensemble en bijection avec une partie infinie de $\mathbb{N}$, montrer que $E \cong \mathbb{N}$.
$E$ est en bijection avec une partie infinie de $\mathbb{N}$ donc il existe $f : E \to B$ une bijection de $E$ sur $B$ où $B$ est une partie infinie en appliquant le même raisonnement que celui pour 2. à un $b \in B$ il existe une bijection telle que $g : B \to \mathbb{N}$ par composition $f \circ g : E \to \mathbb{N}$ est une bijection d’où par composition $E \cong \mathbb{N}$ au sens de Cantor.

3. Soit $f : E \to F$. Montrer que $E\cong f(E)$, en déduire qu'un ensemble est dénombrable s'il injecte dans un autre ensemble dénombrable.
D'emblée $f$ est une surjection de $E$ vers $f(E)$ par définition de $f(E)$. Ensuite $|f(E)| \leq |F|$ donc $f_{|f(E)}$ est également une injection puisque $f$ en est une. D'où $E \cong f(E)$, ainsi $f$ est une bijection de $E$ vers $f(E)$, d'où $E \cong f(E)$. Comme les parties de $E$ sont dénombrables $E$ l'est également.

4. Montrer que $E\times F \cong \mathbb{N}$ avec $E,F$ deux ensembles dénombrables
$E$ et $F$ sont dénombrables, qu'ils soient finis ou non on a que $\varphi : E \to \mathbb{N}$ et $\psi  : F \to \mathbb{N}$ sont des bijections car ils sont dénombrables par hypothèse (on l'a montré dans des questions que je n'ai pas affichées). Soit $\omega : (e,f) \to (\varphi(e), \psi(f))$ qui va de $E \times F$ vers $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$. $\omega$ est une injection. Soient $e_{1},e_{2} \in E$ et $f_{1},f_{2} \in F$. Si $\omega (e_{1}, f_{1}) = \omega(e_{2},f_{2})$ alors $\varphi(e_{1},f_{1}) = \varphi(e_{2},f_{2})$ comme $\varphi$ et $\psi$ sont des bijections, elles sont en particulier des injections donc si $\varphi(e_{1}) = \varphi(e_{2})$ et $\psi(f_{1}) = \psi(f_{2})$ on a $e_{1} = e_{2}$ et $f_{1} = f_{2}$ donc $(e_{1},f_{1}) = (e_{2},f_{2})$, d'où le résultat. $\omega$ est une surjection. $\forall (m,n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}, \exists e \in E, \exists f \in F$ tels que $\varphi(e) = m$ et $\varphi(f) = n$ car $\varphi$ et $\psi$ étant des bijections elles sont en particuliers des surjections. Ainsi un antécédent de $(m,n)$ est $(e,f)$ par $\omega$ on obtient $\omega(e,f) = (m,n)$, ainsi $\omega : E\times F \to \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ est une bijection (comme on a montré dans une question qui n'apparaît pas que $\varphi : \mathbb{N}\times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est une bijection), on conclut par composition.

5. Montrer que $\mathbb{Q}$ injecte dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$
En tout premier lieu $\mathbb{Q} \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}$.Soit $\omega : \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Q}$ une fonction définie par $\omega((m,n)) = \dfrac{m}{n}$. En premier lieu $\omega$ est une injection puisque si $\omega(m_{1},n_{1}) = \omega(m_{2},n_{2})$ pour $m_{1},m_{2} \in \mathbb{Z}$ et $n_{1},n_{2} \in \mathbb{N}^{*}$ on a $\frac{m_{1}}{n_{1}} = \frac{m_{2}}{n_{2}}$ donc $m_{1} = m_{2}$ et $n_{1} = n_{2}$. Ensuite par définition de $\mathbb{Q}$ on a $\mathbb{Q} := \left\{\frac{m}{n} | (m,n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*}, m \wedge n = 1  \right\}$, on peut dès lors exiber $l = \frac{m}{n}$ qui a pour antécédent $(m,n)$, donc $\omega ((m,n)) = l$, donc $\omega$ surjective. Ensuite $\varphi : \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^{*} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ injecte dans $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ on conclut en utilisant 4. puisque $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ est dénombrable.

(On a démontré entre temps le lemme de Knaster Tarski, on va maintenant montrer le théorème de Cantor avec $\varphi X\mapsto A\backslash g(B\backslash f(X))$ qui va de $P(E)$ vers $P(A)$ avec $f : E \to F$ et $g : F\to E$ des injections)

6.Montrer que $\varphi$ admet un point fixe $S$
Supposons $X \subseteq Y$ dès lors $B \backslash f(X) \supseteq B\backslash f(Y)$ car $f(X) \subseteq f(Y)$. Par $g$, on a $g(B\backslash f(X)) \subseteq g(B \backslash f(Y))$ par le même argument et donc $A \backslash g(B\backslash f(X)) \subseteq A \backslash g(B \backslash f(Y))$ d'où $\varphi(X) \subseteq \varphi(Y)$ D'après le lemme de Knaster-Tarski comme $X \subseteq Y \subseteq E$ et $\varphi(X) \subseteq \varphi(Y) $ il vient qu'il existe $S \subseteq E$ tel que $\varphi(S) = S$ soit $A \backslash g(B \backslash f(S)) = S$ soit encore $A\backslash (A\backslash(g\backslash(B\backslash(S)))) = A\backslash S$ soit $g(B \backslash f(S)) = A \backslash S$

7. Montrer que $S\cong f(S)$ et $A\backslash S \cong B\backslash S$
$f|_{S} : S \to f(S)$ est une injection car $f$ en est une et en plus une surjection par restriction à $S$, par le même argument $g|_{B\backslash f(S)} : B\backslash f(S) \to g(B\backslash f(S))$ est une bijection, d'où les équipotences.

8. Montrer que $A\cong B$ en construisant explicitement une bijection en fonction de $f,g,S$
On construit $\xi$ qui renvoie $f$ si $x \in S$ et $g^{-1}$ sinon (i.e si $x \in A\backslash S$) avec $f :S \to f(S) $ et $g : B\backslash f(S) \to B \backslash S$