Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

J'ai établi une conjecture mais je ne sais pas la démontrer et les mathématiciens avec lesquels j'ai dialogué sont soit occupés soit ils ne savent pas la démontrer. C'est pour cela que j'en appelle à votre aide pour savoir si c'est démontrable ou pas. La conjecture fait appel à plusieurs outils mathématiques qui à première vue ne sont pas reliés entre eux. Je vous remercie par avance. Depuis décembre je me casse la tête sur ce problème. Voici la conjecture avec quelques exemples.

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$n$ est un entier naturel $>1$, $\varphi(n)$ est l'indicatrice d'Euler, $P_n$ est le $n^\text{ième}$ nombre premier et $\sigma(n)$ est la somme des diviseurs de $n$. Considérons l'expression suivante :

$$F(n)=\varphi(|P_{n+2}-\sigma(n)|)+1$$

Conjecture : quand $F(n) \equiv 3 \pmod {20}$ alors $F(n) \equiv 3 \pmod {20}$ est soit un nombre premier soit un nombre composé (non premier). Quand $F(n) \equiv 3 \pmod {20}$ n'est pas premier on a $|P_{n+2}-\sigma(n)|=p^k$ ($p$ premier, $k$ est un entier naturel ${}> 1$).

La conjecture est donc : existe-t-il seulement ces deux solutions ?
1. Une puissance d'un nombre premier quand $F(n) \equiv 3 \pmod {20}$ n'est pas premier en calculant $|P_{n+2}-\sigma(n)|=p^k$
2. Ou bien $F(n) \equiv 3 \pmod {20}$ est un nombre premier.

Exemples :

1) Prenons $n=10270001113$, on a :

$$F(10270001113)
=\varphi(|P_{10270001115}-\sigma(10270001113)|)+1
=\varphi(259189944599-10468624896)+1=248721319703$$ qui est premier.

2) $$F(680)=\varphi(|P_{682}-\sigma(680)|)+1
= \varphi(5101-1620)+1=3423$$ qui n'est pas premier mais $P_{n+2}-\sigma(n)=p^2$, plus précisément c'est le carré de 59 qui est bien un nombre premier.

3) Pour $n \leq 526 388 126$ (calculs avec PARI/GP) la conjecture est vérifiée.

Ainsi un troisième exemple est trouvé pour $k=6$. Il s'agit de $n=526388126$. Dans ce cas nous avons : $F(n)=10549870323$

qui n'est pas premier mais $|P_{n+2}-\sigma(n)|=47^6$ (ici $k=6$).

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Bonsoir,

J'ai un set de formules concernant la fonction exponentielle et pi et j'aimerais savoir comment les démontrer : https://www.noelshack.com/2024-16-2-171 … -maths.jpg

Pour la formule avec cos(x) je sais déjà qu'il faut utiliser le théorème des résidus. Pour le reste il faudrait simplifier parfois mais ça ne démontre rien.

Je vous remercie par avance de votre aide.