Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,
Soit $n$ un entier naturel et $p$ un nombre premier, le nombre d'entiers inférieurs à $n$ divisibles par $p^k$ pour un certain $k \geq 1$ est donné par $\lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor = N(n,p,k)$. Ainsi, pour $$\alpha_p = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_p(n) \rfloor} N(n,p,k),$$ on a $p^{\alpha_p}$ qui divise $n!$ et $p^{\alpha_p+1}$ qui ne divise pas $n!$ (on dénombre juste toutes les contributions). On obtient alors le nombre de diviseurs de $n!$ : $d(n!) = \prod_{k = 1}^{\pi(n)} (\alpha_{p_k}+1)$ où $p_1,...,p_n$ sont les $n$ premiers nombres premiers et $\pi$ est la fonction de compte des premiers.