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Bonjour,

Je croyais que c'était très simple mais finalement j'ai mis pas mal de temps à trouver une démonstration.
On aimerait faire une démonstration qui ressemble à [tex]x^2 -xy +y^2 \geq 1 \Rightarrow \dots \Rightarrow x^2 + y^2 \geq \frac{2}{3}[/tex]. Mais le [tex]-xy[/tex] est très génant et on aimerait s'en débarrasser. Dans ce genre de situation, le réflexe c'est de faire un changement de variable. La question est donc: lequel?

Pour trouver un bon changement de variable, on peut représenter les inéquations géométriquement. L'équation [tex]x^2 -xy +y^2 = 1[/tex] définit une ellipse [tex]\mathcal{E}[/tex] donc l'exercice revient à montrer que le cercle [tex]\mathcal{C}[/tex] d'equation [tex]x^2 + y^2 = \frac{2}{3}[/tex] est à l'intérieur de [tex]\mathcal{E}[/tex]. En traçant [tex]\mathcal{E}[/tex] dans GeoGebra il semble que [tex]\mathcal{E}[/tex] est centrée et inclinée de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians. Voilà notre piste pour le changement de variable. Si on fait un changement de base en passant au plan incliné de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians, l'équation de l'éllipse sera de la forme [tex]a x^2 + by^2 = c[/tex] (car non inclinée dans cette base) ce qui est beaucoup plus facile à majorer. De plus, un tel changement de base n'affecte pas l'équation du cercle qui est invariant par rotation.

Plus formellement, il faut trouver [tex](u, v)[/tex] les coordonnées de [tex](x, y)[/tex] dans le plan incliné de [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] radians. Ensuite, exprimer [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] en fonction de [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] pour injecter dans l'inégalité de départ. Une fois tout simplifier, faire apparaitre l'inéquation de cercle [tex]u^2 + v^2 \geq \frac{2}{3}[/tex]. Pour finir, exprimer [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] en fonction de [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] pour injecter, simplifier, conclure.