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Hello, j'ai un peu de mal à trouver comment démontrer cette égalité, est-ce qu'il serait possible d'avoir un peu d'aide svp ?

Soit [tex]p \in \mathbb{N}[/tex]

[tex]\sum_0^p\binom{p}{2k} - \sum_0^p\binom{p}{2k+1} = \sum_0^p\binom{k}{p} (-1)^k[/tex]

(Ou directement égal à 0)

Merci d'avance,
Alexian

Hello,

Je galère sur une démonstration d'une formule de somme. Est-ce qu'une âme charitable pourrait me donner des indices pour la démontrer ?

La formule est :

$\sum_{k=1}^n kq^{k-1} = \displaystyle\frac{nq^{n+1}-(n+1)q^n+1}{(1-q)^2}$ pour tous $n\in\mathbb{N}$ et q ≠ 1

Il ne faut pas utiliser de récurrence (c'est là toute la difficulté).
Et je sais qu'il faut s'aider de la formule : $\displaystyle\sum^n_{k=0}q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (q ≠ 1)

J'ai trouvé notamment que $\sum_{k=1}^n kq^{k-1} = \sum_{k=0}^n (k+1)q^{k} - (n+1)q^n$, je ne sais pas si c'est utile.

Merci d'avance !