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#1 Café mathématique » Erreur sur la page de la différentielle de Gateaux » 05-03-2026 18:54:26
- eloidrai
- Réponses : 1
En effet, dans la partie où il est fait un rappel sur Fréchet, il est demandé l'existence d'un $\varepsilon : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$ dépendant seulement de $t$ et indépendant de $v \in E$ et qui convienne pour tout $v$. Or, avec $f : x \mapsto x^2$, on a $(a+tv)^2 = a^2 + 2atv + (tv)^2$ et donc $L(v) = 2av $ d'où $\left \lvert \frac{(x+tv)^2 - x^2}{t} - 2av \right \rvert = \lvert tv^2 \rvert $. Et il est clair que $ \lvert tv^2 \rvert $ ne se laisse pas majorer par une fonction dépendant uniquement de $t$ !
Il faudrait imposer à $v$ d'être de norme $1$, ou autoriser $\varepsilon$ à dépendre de $\| vt \| $.
Bonne soirée à vous.
#2 Re : Entraide (supérieur) » Relation coefficients-racines » 15-02-2023 16:22:50
Par récurrence.
On veut monter pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$ (X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_n) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \sigma_{n-k} \cdot X^k $$
Initialisation immédiate.
Hérédité
On suppose la propriété vraie au rang $n$. On a alors :
\begin{align*}
& (X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_{n}) \cdots \times (X - \lambda_{n+1}) \\
= & \left ( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) \cdot X^{k+1} \right ) - \left ( \sum_{k=0}^{n} (-1)^{n-k} \lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) \cdot X^k \right ) \\
= & \sigma_0(\lambda_1 \cdots \lambda_n) \cdot X^{k+1} +
(-1)^{n+1} \lambda_{n+1} \sigma_{n}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) + \left ( \sum_{k=1}^{n} (-1)^{n+1-k} ( \lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) + \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) ) \cdot X^k \right )
\end{align*}
On remarque que, pour tout $1 \leq k \leq n $ $$ \lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) + \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) = \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_{n+1}) $$
De plus :
$$ \sigma_0(\lambda_1 \cdots \lambda_n) = 1 = \sigma_0(\lambda_1 \cdots \lambda_{n+1}) ~\text{ et }~\lambda_{n+1} \sigma_{n-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_n) = \sigma_{n+1-k}(\lambda_1 \cdots \lambda_{n+1})$$
Ainsi, on a bien
$$ (X - \lambda_1) \times \cdots \times (X - \lambda_{n+1}) = \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{n+1-k} \sigma_{n+1-k} \cdot X^k $$
Conclusion
On a bien montré la propriété de manière très scolaire mais la démarche est laborieuse et un raisonnement combinatoire est plus adapté. ;)
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