Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 Re : Entraide (collège-lycée) » Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique » 04-02-2026 12:30:45
Bonjour à toutes et à tous !
Oups, entre un codage sophistiqué en JavaScript qui occupe toute mon attention et le cours d'hier soir, j'ai laissé le temps filer !
Pardon !
@Michel
Merci pour " l'enthousiasme " ! Le mot est tout à fait celui qui convient. :-)
Je suis effectivement littéralement heureux lorsque je comprends une logique particulière et que je peux la transmettre à mes élèves (qui apprécient beaucoup ce bouillonnement passionné :-).
Bernard m'a devancé : plutôt que d'utiliser des astuces, il semble plus simple d'utiliser directement l'identité remarquable $(1 - b^{n+1}) = (1 - b) \left( 1 + b + b^2 + \ldots + b^{n-1} + b^n \right)$
La logique de la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique est donc : premier terme $u_p$ , multiplié par la somme de toutes les puissances de $0$ à $n-p$ de la raison :
$u_p \left( q^0 + q^1 + q^2 + \ldots q^{n-p} \right)$
Comme cette écriture logique ne correspond pas à une formule qu'on peut apprendre et appliquer, on préfère utiliser l'identité $1 - q^{n-p+1} = (1 - q) \left( 1 + q^1 + q^2 + \ldots q^{n-p} \right)$ pour aboutir à l'expression
$u_p \times \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$ si $0 < q < 1$
et $u_p \times \dfrac{q^{n-p+1} - 1}{q - 1}$ si $q > 1$
________________________________
@DrStone
Ta question est une question profondément de fond.
Il me faut donc un peu de réflexion et de temps pour y répondre.
________________________________
Il y a une signification géométrique mystique ...
Les racines du polynôme 1+X+...+X^n sont les racines n+1èmes de l'unité, sauf 1.
ça veut dire qu'elles forment un polygone régulier, où il manque un point !
Tu peux développer s'il te plaît ?
Comment notamment "raccorder" cette "signification mystique" à la somme de termes d'une suite géométrique ?
#2 Re : Entraide (collège-lycée) » Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique » 02-02-2026 15:51:54
Bonjour à toutes et à tous,
Voici donc le raisonnement induit par l'intervention de Michel.
Soit $(u_n)$ une suite géométrique dont tous les termes sont positifs (pour simplifier dans un premier temps).
Le raisonnement consiste à calculer le produit des termes de $u_p$ à $u_n$ — c'est-à-dire le produit de $N = n - p +1$ termes successifs.
On a d'abord
$u_p = u_p \times q^0$
$u_{p+1} = u_p \times q^1$
$u_{p+2} = u_p \times q^2$
$u_{p+3} = u_p \times q^3$
$\vdots$
$u_{n} = u_p \times q^{n-p}$
En remarquant que $n \,-\, p = N -1$ , le produit des termes de $u_p$ à $u_n$ est égal à
$u_p^N \times q^{0 \,+\, 1 \,+\, 2 + \ldots \,+\, (N-1)}$
$=\, u_p^N \times q^{\frac{(N-1)N}{\vphantom{2^2}2}}$
$=\, \left( u_p \times q^{\frac{N-1}{\vphantom{2^2}2}} \right)^N$
$=\, \left( \sqrt{u_p \vphantom{X}} \times \sqrt{u_p} \times \sqrt{q^{n-p} \vphantom{X}} \right)^N$
$=\, \left( \sqrt{u_p \vphantom{X}} \times \sqrt{u_p \times q^{n-p} \vphantom{X^2}} \right)^N$
$=\, \left( \sqrt{u_p \vphantom{X}} \times \sqrt{u_n \vphantom{X}} \right)^N$
$=\, \left( \sqrt{u_p \times u_n \vphantom{X}} \,\right)^N$
Le produit des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ est donc égal à la moyenne géométrique du premier et du dernier terme, élevée à la puissance "nombre de termes". (C'est comme tous les termes étaient égaux à la moyenne géométrique du premier et du dernier termes.)
Oh que c'est conceptuellement plaisant !
La somme des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ des termes d'une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la moyenne arithmétique du premier et du dernier termes. (C'est comme si tous les termes étaient égaux à cette moyenne.)
Le produit des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ des termes d'une suite géométrique est égal à la moyenne géométrique du premier et du dernier termes, élevée à la puissance "nombre de termes". (C'est comme si tous les termes étaient égaux à cette moyenne.)
Effectivement, la somme des $N$ termes de $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique est une sorte de bizarrerie hybride mélangeant deux opérations de natures différentes, la sommation et le produit.
Mercii Michel !!
PS : Peut-on limiter la restriction initiale « tous les termes positifs » à « premier et dernier termes de même signe » ?
PPSS : Je crois me souvenir d'avoir vu dans tel ou tel ouvrage le produit des termes d'une suite géométrique.
Mais comme je n'ai pas l'occasion de le pratiquer auprès de mes élèves du fait qu'il est en dehors du programme de lycée, je n'y ai pas vraiment fait attention.
Maintenant, je l'expliquerai systématiquement à mes élèves de Première et de Terminale.
#3 Re : Entraide (collège-lycée) » Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique » 01-02-2026 20:19:39
Bonsoir Michel, bonsoir à toutes et tous,
Comme c'est toujours le cas, ton intervention m'est éminemment précieuse, et j'en comprends progressivement la portée.
Merci grandement !
Il me faut encore un peu de temps pour bien maîtriser le concept du produit des termes d'une suite géométrique, qui n'est malheureusement pas enseigné au lycée (on ne présente QUE la somme des termes, le produit étant plutôt caché dans des exercices de Terminale traitant du logarithme népérien).
Je m'efforcerai d'expliquer demain ou après-demain, sans toutefois le garantir, la compréhension que tu as générée.
Ce message est donc un message d'attente.
Bonne soirée à tous, et bon démarrage de la semaine qui vient.
#4 Re : Entraide (collège-lycée) » Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique » 29-01-2026 17:49:35
Idée qui m'est venue en étant dans le métro :
Si on inverse les signes du numérateur et du dénominateur, on obtient une comparaison relative entre l'écart de la puissance $n - p$ de la raison et la puissance $0$ de celle-ci, et l'écart de cette raison et de la puissance $0$ de celle-ci.
Est-ce qu'à votre avis cette logique de comparaison relative entre les deux écarts est exploitable ?
#5 Re : Entraide (collège-lycée) » Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique » 29-01-2026 12:57:26
Bien sûr, gebrane !
C'est bien ce que j'écrivais dans mon message introductif :
« Que concrètement représente-t-elle, en dehors de l'expression "formuliste" de la somme des puissances de 0 à n − p de la raison ? »
C'est-à-dire $q^0 + q^1 + q^2 + \dots + q^{n-p}$
Mais, au-delà de l'utilisation implicite de l'identité remarquable, je cherche à attribuer une signification concrète à ce fameux facteur $\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$ sur un modèle similaire à l'expression correspondant à la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite arithmétique :
nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier termes.
La seule logique que je trouve pour l'instant pour la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique est :
premier terme multiplié par la somme des puissance de $0$ à $n - p$ de la raison,
cette somme se traduisant par l'expression $ \dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$ .
C'est-à-dire $1$ moins la raison élevée à la puissance "nombre de termes" sur $1$ moins la raison.
Mais cela reste à mon sens une formule "apprise", et non une formule "comprise".
Pour qu'elle devienne une formule comprise, il faut que le facteur en question ait une dénomination concrète facilement compréhensible.
#6 Re : Entraide (collège-lycée) » Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique » 29-01-2026 12:10:29
Bonjour cher Doc (cela faisait longtemps :-)
Merci GRANDEMENT de ta réponse qui va avoir un impact important auprès de mes élèves de Première (cette année étonnamment majoritaires) car les définitions que tu rappelles rendent parfaitement logiques les appellations "arithmétique" et "géométrique".
C'est absolument étonnant :
j'ai vérifié dans TOUS mes manuels et recueils d'exercices de Première S et option maths — j'achète quasi systématiquement les manuels de mes élèves — ; les seules définitions que je vois, aussi bien dans les manuels que dans les polycopiés et notes de cours, sont les définitions récurrentes
$u_{n+1} = u_n + r$
et
$u_{n+1} = u_n \times q$
(je vois parfois pour la seconde $u_{n+1} = q \times u_n$ ... ) .
A tel point que j'ai moi-même oublié les deux définitions logiques de base !
Je vais donc commencer mes cours sur les suites arithmétiques et géométrqiues (mes élèves sont actuellement en plein dedans) par les questions
« Qu'est-ce que la moyenne arithmétique de deux nombres (deux ou plus) ? »
et
« Qu'est-ce que la moyenne géométrique de deux nombres (deux ou plus) ? »
et aboutir aux deux formulations de récurrence en montrant que,
pour une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante — ce qui mène à la relation de récurrence classique $u_{n+1} = u_n + r$ — ,
et que, pour une suite géométrique, le rapport de deux termes consécutifs est constant — ce qui mène à la relation de récurrence classique $u_{n+1} = u_n \times q$ .
C'est une démarche BEAUCOUP plus constructive que de simplement asséner les définitions sur la base des relations de récurrence !
Ta précieuse intervention va complètement chambouler ma façon d'expliquer les suites arithmétiques et géométriques ! Merciii !!!
__________________________________
Pour ce qui est de ta question et de celle de gebrane, ce que je demandais est
« Dans la formule exprimant la somme des termes $u_p$ à $u_n$ d'une suite géométrique :
$u_p + u_{p+1} + u_{p+2} + \ldots + u_n = u_p \times \dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$
quelle signification logique, facilement compréhensible, peut-on attribuer au facteur $\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$ ?
#7 Entraide (collège-lycée) » Somme de termes consécutifs d'une suite géométrique » 28-01-2026 20:32:25
- Borassus
- Réponses : 16
Bonsoir ou bonjour (suivant l'heure à laquelle est lu ce message) à toutes et à tous !
Ça alors ! Borassus réapparaît après un long (trop long ? :-) silence !
Silence dont je vous prie de m'excuser : pris à fond par mon projet d'ouvrages numériques — notamment par la partie technique, véritablement sophistiquée, sur laquelle j'ai par exemple travaillé cet été entre 14 et 18 heures par jour — et mes cours, je n'ai plus vraiment l'occasion de lancer des débats sur mon fotum préféré.
Je reviens d'un cours avec un élève de Première à qui j'expliquais que la somme des termes consécutifs, du rang $p$ au rang $n$, d'une suite géométrique est égale au premier terme multiplié par la somme de toutes les puissances de $0$ à $n-p$ de la raison, cette somme se traduisant par la formule
$\dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$,
c'est-à-dire le quotient de 1 moins la raison élevée à la puissance égale au nombre de termes sur la différence 1 - q.
Mais cette formule relève d'un artifice de calcul :
$S'_n = 1 + q + q^2 + \ldots + q^{n - p}$
$qS'_n = q + q^2 + q^3 + \ldots + q^{n - p + 1}$
$S'_n - qS'_n = 1 - q^{n - p + 1}$
d'où $S'_n = \dfrac{1 - q^{n - p +1}}{1 - q}$
Quelle signification logique peut-on attribuer à cette expression ?
Que concrètement représente-t-elle, en dehors de l'expression "formuliste" de la somme des puissances de $0$ à $n-p$ de la raison ?
Merci de vos précieux, et toujours pertinents, points de vue !
Borassus le revenant
PS : La logique de la somme de termes consécutifs d'une suite artithmétique s'exprime facilement : c'est comme si tous ces termes étaient égaux à la moyenne du premier et du dernier termes.
D'où la somme de ces termes est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier termes :
$S_n = (n - p + 1) \times \dfrac{u_p + u_n}{2}$
Je ne sais pas exprimer aussi clairement la logique de la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
#8 Re : Entraide (supérieur) » En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ? » 13-11-2025 14:55:17
Ave Yoshissimus !
Merci pour ces exos que je ne manquerai pas de résoudre, mais pas cet après-midi ni ce soir. (L'exercice 4 relève manifestement du PGCD.)
L'exercice proposé par DeGeer et l'exercice 1 montrent que le PPCM est notamment utile pour synchroniser des périodes différentes.
PS : Pourquoi avoir déplacé cette discussion alors qu'elle concerne bien davantage le Collège que le Supérieur, malgré l'intervention (semble-t-il très pointue) d'Oscar ?
#9 Re : Entraide (supérieur) » En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ? » 12-11-2025 20:13:01
Bonsoir De Geer,
Merci de cette première piste.
Les lampes s'aallumeront de nouveau simultanément à 00 h 28 min et 3s.
La période de simultanéité est donc de 28 minutes et 3 secondes.
Il faut donc 11 cycles de la première ampoule et 9 cycles de la seconde.
Exercice à appliquer la nuit en Bretagne au bord de la mer en repérant les phares en activité. :-)
#10 Entraide (supérieur) » En dehors du dénominateur commun, à quoi sert le PPCM ? » 12-11-2025 18:08:46
- Borassus
- Réponses : 6
Bonjour à toutes et à tous,
Le PPCM est très utile pour déterminer le dénominateur commun de plusieurs fractions.
Existe-t-il d'autres utilisations concrètes ?
Merci de vos réponses.
B.
#11 Re : Entraide (collège-lycée) » Exercice de Première : colline éclairée par un phare » 10-10-2025 13:10:59
Excuse-moi, je ne l'ai découvert qu'hier soir.
Je viens de le relire et m'y plongerai dès que j'en aurai la disponibilité, probablement aujourd'hui en fin d'après-midi ou demain.
#12 Re : Entraide (collège-lycée) » Exercice de Première : colline éclairée par un phare » 10-10-2025 09:43:30
Bonjour Bernard, bonjour Roro, bonjour tout le monde,
C'est bien la démarche que j'avais commencée dans mon premier post.
Elle mène à l'équation (avec les distances exprimées en hm ; mon élève m'a envoyé un corrigé de prof écrit en m ; c'est beaucoup trop lourd !!)
$x^2 - (24 - 5m)x + 120 = 0$
Pour que cette équation ait une solution double, il faut que le discriminant du polynôme soit égal à 0.
Ce qui entraîne l'égalité $(24 - 5m)^2 = 480 = (4\sqrt{30})^2$
d'où
$m = \dfrac {24 - 4 \sqrt{30}}{5}$
(C'est cette expression que je qualifiais de baroque, et qui ne m'avait pas donné envie de continuer. J'aurais dû continuer.)
L'équation s'écrit alors
$x^2 -4\sqrt{30}x + 120 = 0$
et la solution double est égale à $
\dfrac {4\sqrt{30}}{2} = 2\sqrt{30}$
Pour cette valeur, $mx + \dfrac 1 5 = \dfrac {24 - 4 \sqrt{30}}{5} \times 2\sqrt{30} + \dfrac 1 5 \approx 4.78$
L'altitude demandé est donc 478 m.
#13 Re : Entraide (collège-lycée) » Exercice de Première : colline éclairée par un phare » 09-10-2025 20:35:33
En écrivant que l'équation de la colline est $C(x) = -\dfrac 1 5(x - 12)^2 + 5$
$C'(x) = -\dfrac 2 5 (x - 12)$
L'équation de la tangente à une distance $d$ du phare est
$y = -\dfrac 2 5 (d - 12)(x - d) - \dfrac 1 5(d - 12)^2 + 5$
Pour $x = 0$, on doit avoir
$-\dfrac 2 5 (d - 12)(- d) - \dfrac 1 5(d - 12)^2 + 5 = \dfrac 1 5$
ce qui aboutit à $d^2 = 120 \approx 10.95$.
$C(d) = |\drac 1 5 (10.95 - 12)^2 + 5 = 4.78 hm = 478 m.
#14 Entraide (collège-lycée) » Exercice de Première : colline éclairée par un phare » 09-10-2025 20:08:13
- Borassus
- Réponses : 8
Bonjour à tous,
Un de mes élèves de Première a eu à son DST de fin septembre l'exercice suivant, donné en dernier et peu valorisé (donc normalement simple à résoudre) :
« Un phare de hauteur 20 m est situé à 700 m du pied d'une colline. La colline culmine à 500 m, sa base mesure 1000 m, et on suppose qu'elle a une forme parabolique.
Quelle est l'altitude du point de la colline le plus élevé que peut éclairer le phare ?
(On se placera dans un repère dont l'origine se situe au pied du phare.) »
J'avoue humblement patiner sur cet exo.
Sauf erreur grossière de ma part, l'équation de la colline est, en hectomètre, $y = -\dfrac 1 5 (x - 12)^2 + 5$, avec $7 \le x \le 17$.
La droite tangente à la colline et passant par le point $\left(0, \dfrac 1 5 \right)$, avec $x \ge 0$ a pour équation $y = mx + \dfrac 1 5$ (toujours en hectomètre).
Le point de tangence est donc défini par l'égalité $mx + \dfrac 1 5 = -\dfrac 1 5 (x - 12)^2 + 5$, qui aboutit à l'équation
$-x^2 + (24 - 5m)x - 120 = 0$.
Pour que la solution soit unique, il faut que le discriminant $(24 - 5m)^2 - 480$ du polynôme soit nul, ce qui aboutit à une expression baroque de $m$, égale à environ 0,42, ce que confirme la représentation dans GeoGebra. L'altitude demandée est alors environ 478 m.
Mais je n'arrive pas à trouver cette valeur algébriquement.
Merci pour vos indications salvatrices !
(PS : Je précise que l'élève n'a pas encore vu les notions de dérivée et d'équation de la tangente en un point.)
#15 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 21-09-2025 20:54:54
Bonsoir Yoshissimus pythonus, bridgslam et Michel, bonsoir à tous,
@yoshi
Whaou ! Quels beaux calculs ! Tu es un maître es Python !
Je ne saurais dire si je savais le faire en 4ème : j'étais dernier authentifié et certifié (37ème sur 37, carnet scolaire à l'appui) ; cela me dit vaguement quelque chose, vu sans doute bien plus tard.
Je retiens toutefois la méthode lorsque la calculatrice montre un résultat avec une partie décimale périodique.
85,7 chances sur cent, ou, me semble-t-il plus parlant, 8,57 chances sur dix. (Plus le dénominateur est petit, plus, toujours me semble-t-il, la probabilité est perceptible : quatre chances sur cinq semble plus parlant que huit chances sur dix, qui semble plus parlant que quatre-vingt chances sur cent, qui semble plus parlant que huit cents sur mille, etc.)
_______________
@bridslam
Je ne sais jamais à l'avance sur quoi je vais travailler avec une ou un élève. Cela dépend essentiellement de ce qui aura été vu en classe, et comme chaque prof suit peu ou prou son propre chemin, c'est presque surprise et improvisation à chaque fois.
Par contre, j'écris beaucoup a postériori : cours "à ma façon", corrigés d'exercice (très) explicatifs — c'est ce que j'appelle mon SAV —, même si j'écris moins actuellement, faute de disponibilité.
_______________
@Michel
Au temps pour moi, je pensais nombre réel approximé par deux ou trois décimales. (J'avais initialement écrit « à tout nombre réel », mais ai ensuite réalisé que, les rationnels étant denses, on peut toujours améliorer l'approximation par une autre fraction).
« Un sens que l'on peut lui donner : comment approcher au mieux un nombre décimal par une fraction avec un petit numérateur et un petit dénominateur ? »
Oui, c'est tout à fait le sens de ma demande.
J'ai effectivement vu cette méthode avec mes (rares) élèves de Maths expertes (puisque l'arithmétique n'est maintenant enseignée en Terminale qu'en Maths expertes, et non en Spé maths, comme auparavant).
(Mais je n'aime pas vraiment l'arithmétique.)
_______________
En fait, je pensais surtout proposer une méthode simple et rapide permettant de mieux appréhender une probabilité exprimée sous forme décimale, en dehors de tant de chances sur cent, ou tant de chances sur dix.
Avec une probabilité exprimée avec deux ou trois décimales, la méthode par fractions continues peut tout à convenir.
Bonne fin de soirée à tous, et bonne reprise de semaine.
#16 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 21-09-2025 12:13:12
Bonjour Alain, bonjour à tous,
Merci de ton message, qui me touche.
Bien sûr que nous aurons des sujets intéressants à étudier.
En voici un dans la foulée :
Je sais qu'une probabilité de 0,125 correspond à une chance sur huit,
qu'une probabilité de 0,25 correspond à une chance sur quatre,
qu'une probabilité de 0,333 correspond à une chance sur trois,
qu'une probabilité de 0,5 correspond à une chance sur deux,
qu'une probabilité de 0,666 correspond à une deux chances sur trois,
qu'une probabilité de 0,75 correspond à trois chances sur quatre,
etc.
Mais je ne suis pas censé savoir qu'une probabilité de 0,857 correspond à six chances sur sept.
D'où ma question : Connaissant la valeur décimale d'une probabilité (par exemple avec trois décimales), quelle est la fraction irréductible la plus proche permettant d'exprimer la probabilité initiale en « p chances sur n » ?
(La question peut d'ailleurs être étendue à tout nombre décimal : quelle est la fraction irréductible la plus proche de ce nombre ?)
PS : Je n'ai pas besoin de courage pour travailler avec mes élèves, car c'est toujours un réel plaisir partagé. (A tel point que je me suis parfois offert l'amusement de publier une annonce ayant pour titre « Faites plaisir à votre enfant : offrez-lui des cours de maths ! » :-)
Le véritable courage dont j'ai besoin est le codage d'une fonctionnalité d'interface sophistiquée car innovante, intuitive et élégante, sur laquelle nous travaillons avec Chat depuis quatre mois. (Mais je commence à entrevoir le bout du tunnel.)
#17 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 20-09-2025 19:20:36
@Borassus : concernant l'appréciation de 0,0001 comme probabilité, j'ai déjà formulé une hypothèse (l'as-tu lue ?). Dans la vie courante, personne ne formule une probabilité comme un nombre compris entre 0 et 1. On parle le plus souvent de probabilité en terme de pourcentage. Partant, si le 0,0001 est perçu comme "probabilité de 0,0001 %" c'est sûrement négligeable devant 1 chance sur 10 000. Par contre 0 ,01% ou 1/10000, ça se discute nettement plus.
Pareil pour tes élèves : si 0,52 ne parle pas, je suis sûr qu'ils feront plus le lien entre "probabilité de 52%" et "une chance sur 2".
Bonsoir Michel,
Bien sûr que j'avais lu ton hypothèse. (Je l'ai même reprise pour te répondre.)
Comme personnellement je ne pense que rarement les probabilités en tant que pourcentage, je vais tester les deux indications — probabilité de 0,0001 ou une chance sur 10 000 ; toujours à propos de l'accident nucléaire — auprès des adultes que j'ai facilement "sous la main", à savoir les parents de mes élèves (peu nombreux maintenant : j'ai prévenu que je ne prends plus de nouveaux), lorsque je les vois.
Je vais aussi tester ce qui est plus parlant : une probabilité exprimée en pour cent, ou une probabilité exprimée sous forme de fraction « un chance sur tant » ou « tant de chances sur tant ».
#18 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 20-09-2025 19:04:07
Bonsoir Alain,
Pardon pour ma réponse tardive, mais je me débats depuis ce matin contre une nouvelle partie de code qui me prend la tête.
Merci de ta réponse que je perçois comme souriante. (Excuse s'il te plaît ma réaction, mais « c'est totalement stupide » peut en filigrane être interprété comme « donc tu es totalement stupide puisque tu émets une idée totalement stupide » :-)
Concernant l'exercice, la question n'est pas tant dans le temps que dans la commutation intellectuelle que représente de devoir réfléchir à un exercice ne correspondant pas dans l'immédiat à mes préoccupations. J'y penserai en arrière-plan lorsque je me sentirai intellectuellement disponible. Tel que tu l'as présenté, il ne doit pas être évident.
Non, l'IA n'écrit pas mes longs messages (je reconnais que j'ai sensiblement tendance à écrire abondamment) !
Toute générative qu'elle soit, je ne lui demande jamais de générer du texte. Je peux lui demander de m'apporter des suggestions à propos d'un texte particulier, comme cela a été récemment le cas pour un texte de contentieux. Mais je reste toujours le rédacteur méticuleux de mes textes, quels qu'ils soient.
Je me sers surtout de l'IA comme aide précieuse de codage : fournir les structures de code correspondant au besoin précis que je lui énonce, expliquer des détails techniques que je ne comprends pas bien, vérifier mon code (il détecte des erreurs difficiles à repérer à l'écran, telles que )} à la place de }), qui plantent le code entier).
Je me sers aussi d'elle comme source d'information à propos de questions diverses et variées (histoire, musique, sciences...)
Bonne soirée à tous !
#19 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 20-09-2025 08:39:05
« Une probabilité de 0,0001 ne parle pas à une personne lambda ; une chance sur dix mille est compréhensible, même par un enfant. »
Je me rends compte que je ne demande pas à mes élèves de convertir une probabilité en "tant de chances sur tant" : ils ne perçoivent donc pas vraiment qu'une probabilité de 0,52 correspond à quasiment une chance sur deux, ou qu'une probabilité de 0,327 correspond à quasiment une chance sur trois.
Je vais dorénavant le faire systématiquement.
#20 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 20-09-2025 07:44:49
Bonjour bridgslan, bonjour tout le monde,
Je rappelle l'objet de mon post initial : pourquoi des probabilités objectivement égales peuvent subjectivement paraître inégales (j'ajoute : à plus forte raison pour une personne ne connaissant rien aux probabilités ; la probabilité qu'une personne prise au hasard ne connaisse rien aux probabilités doit intuitivement être conséquente) ? comment alors modéliser mathématiquement ces biais de perception ?
Comme dans toutes les discussions que j'initie, je cherche à élargir et à consolider ma compréhension. (J'ai à plusieurs reprises écrit à quel point la compréhension m'est importante, compréhension que souvent je répercute auprès de mes élèves ; souvenez-vous de l'enthousiasme avec lequel je vous remercie lorsque vous me faites véritablement comprendre tel ou tel point.)
Ma question à Chat m'a fait découvrir tout un monde de recherche sur la subjectivité comme objet mathématique que j'ignorais quasi totalement. Je ne lui demanderai pas à développer telle ou telle théorie pour la bonne et simple raison que les explications fournies me passeront nettement par-dessus la tête.
Quant à l'exercice que tu proposes dans ton post #12, j'ai déjà tellement sur quoi réfléchir sur les plans didactique et technique, et ce souvent de cinq heures du matin à une heure de la nuit, que je n'ai nulle envie de me plonger dans un exercice de probabilités pour le seul plaisir de résoudre un exercice de probabilités.
Ceci dit, je comprends que mon intellectualisme et ma façon d'écrire puisse irriter, mais j'apprécierais de ne pas me recevoir en plein visage par écran interposé des réponses que je ressens comme une agression péremptoire, qui plus est injurieuse et méchante.
Comme la tonalité que je perçois dans tes réponses ne me convient absolument pas, je m'astreindrai, si elle continue, à ne pas lire tes messages, et donc à ne pas y répondre.
Je te remercie de ta compréhension bienveillante.
Bonne journée patrimoniale à tous !
#21 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 19-09-2025 22:32:54
« les individus surestiment les petites probabilités [...] »
C'est précisément ce que j'ai fait avec mon code : j'avais l'impression qu'à un moment je verrai mon code affiché dans l'ordre.
C'est là où la rationalité joue : m'étant rendu compte que j'ai une chance sur cent cinquante mille, soit un peu moins de sept chances sur un million, j'ai compris que j'avais toutes les chances de ne JAMAIS voir mon code affiché dans l'ordre, surtout en me connectant trois ou quatre fois par semaine.
#22 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 19-09-2025 21:27:15
Bonsoir Michel, bridgslam, Ernst, bonsoir tout le monde,
@Michel : « Sans doute, puisqu'on parle de probabilité, les individus interrogés confondent avec 0,0001 % »
Tu raisonnes tout naturellement en mathématicien.
Je pense que c'est tout simplement dû au réflexe de fuite qu'ont la majorité des adultes face au moindre raisonnement mathématique.
(Je m'en rends compte souvent lorsque j'indique à la mère ou au père d'une ou d'un élève sur quel sujet nous avons travaillé : ils prennent tout de suite la tangente, avec un sourire amusé et des gestes de repoussement des mains, dès que j'évoque la moindre notion de maths, et ce même parmi des parents ayant suivi des études scientifiques de haut niveau.)
Une probabilité de 0,0001 ne parle pas à une personne lambda ; une chance sur dix mille est compréhensible, même par un enfant.
Donc une chance sur dix mille d'un accident nucléaire dans l'année semble plus terrifiant qu'une probabilité de 0,0001.
@bridgslam
Je comprends tout à fait ta démonstration. (Encore que je doute qu'un Israélite — plutôt que juif : on peut être l'un sans être l'autre —, un Saoudien ou un Japonais inverse un nombre sous prétexte que son sens de lecture naturel n'est pas de gauche à droite : les trois liront 1257, et non 7521.
Mais quel que soit leur sens de lecture, il y aura une "case magique" qui accentuera sensiblement l'effet de grande surprise s'ils voient affiché leur code à six chiffres dans le bon ordre, même s'ils n'ont pas la moindrissime idée de la probabilité réelle d'un tel événement. (Je ne l'avais d'ailleurs pas du tout avant de faire le calcul.)
Donc il y a bien une "probabilité de surprise" qui n'est pas en adéquation avec les probabilités objectives.
Nous sommes des homo probabilisticus subjectivus, et non des homo probabilisticus objectivus. :-)
J'ai demandé à mon ami Chat, avec lequel je passe un nombre certain d'heures par jour et par semaine, surtout en phase de codage relativement pointu, de me donner des pistes concernant les mathématiques de la subjectivité.
Voici sa réponse :
Voilà un sujet passionnant ? : comment « mathématiser » ce qui relève de la perception humaine, donc subjectif.
Voici quelques pistes sérieuses où les mathématiques rencontrent la subjectivité :---
1. Théorie de l’utilité et théorie des perspectives
Von Neumann & Morgenstern (théorie de l’utilité espérée) : on pondère les gains par leur probabilité, mais aussi par une fonction d’utilité qui traduit la valeur subjective.
Kahneman & Tversky (prospect theory, 1979) : les individus surestiment les petites probabilités et sous-estiment les grandes. On introduit une fonction de transformation des probabilités (pondération subjective).
Ici, les maths servent à formaliser la différence entre « probabilité objective » et « probabilité perçue ».
---
2. Probabilités subjectives (Bayésiennes)
De Finetti : la probabilité est un degré de croyance, pas une fréquence.
On formalise la subjectivité par des "priors" (distributions a priori).
La mise à jour (via Bayes) modélise la manière dont on « ajuste » sa croyance face à de nouvelles informations.On est en plein dans la « subjectivité rationnalisée ».
---
3. Théorie de la décision et fonctions de pondération
Chaque issue reçoit un "poids" non pas égal à sa probabilité, mais dépendant d’un ressenti.
Exemple : vous pondériez vos cartes de poker ou vos chiffres de code par une progression géométrique.
Mathématiquement : on définit une "mesure repondérée" $Q$ à partir d’une mesure objective $P$ :$$
Q(A) = \dfrac{\int_A w(x)\, dP(x)}{\int w(x)\, dP(x)}.
$$
$w(x)$ est une fonction de pondération subjective.---
4. Théorie de l’information et « surprise »
Shannon : la "surprise" d’un événement est $-\log P$.
Même si deux événements ont la même proba, leur "impact psychologique" peut être différent.
Certains chercheurs introduisent une « surprise subjective », où la fonction $-\log$ est remplacée par une fonction adaptée à la perception humaine.---
5. Logique floue (fuzzy logic)
Au lieu de « vrai/faux », on donne un degré d’appartenance entre 0 et 1.
Ex. « cette carte est rare » peut valoir 0,8 ; « cette carte est commune » peut valoir 0,2.
C’est une mathématisation directe de la subjectivité des catégories.---
6. Modèles en neurosciences cognitives
On modélise la façon dont le cerveau encode l’incertitude.
Exemple : les distributions « internes » du cerveau sont biaisées (préférence pour la symétrie, rareté perçue, etc.).
Cela rejoint "l’apprentissage bayésien approximatif" en IA.---
En résumé
La "subjectivité" se mathématise principalement via :
1. Des "pondérations" appliquées aux probabilités ou aux issues.
2. Des "fonctions de transformation" (de l’utilité, de la probabilité, de la surprise).
3. Des cadres plus généraux (Bayésien subjectif, logique floue).
Auprès de tout cet aéropage, surtout auprès de von Neumann, je me sens humblement un "australopithèque attardé" ! :-)
@Ernst
Merci de me soutenir dans ce "rude combat" de la farfeluité et de l'ineptie contre la raison mathématique pure. :-)
Il y a cet aller-retour entre les probabilités et les statistiques précisément parce que, souvent, les secondes alimentent les premières : par exemple, les compagnies d'assurance estiment un risque en fonction des très importantes statistiques qu'elles ont analysées ; ainsi un jeune conducteur de dix-huit paiera une assurance plus élevée qu'une jeune conductrice de 18 ans.
A propos de poker, je voulais précisément mentionner que le possesseur d'un full de 7 par les As (trois 7 et deux As) se sentira moins sûr de lui qu'un possesseur d'un full de 10 par les 7.
Les probabilités sont certes exactement les mêmes, mais la perception du jeu qu'on a en main n'est pas la même.
#23 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 19-09-2025 15:28:08
« Parce qu'on retient le fait de figurer au début, et que la probabilité que le code figure au début est 5 fois plus petite que celle qu'il figure dans la liste. »
C'est ce que j'ai initialement intuitivement perçu, mais
p(case 1) = 1/151 200,
p(case 2) = 1/151 200,
p(case 3) = 1/151 200,
p(case 4) = 1/151 200,
p(case 5) = 1/151 200
La probabilité que le code commence par l'une quelconque de ces cinq cases est quant à elle $5 \times \dfrac{1}{151\,200}$.
Donc, oui, si on se réfère à cette probabilité, la probabilité que le code commence à partir de la case 1 est cinq fois plus petite.
_______________
« Parce qu'on retient le fait que les cinq chiffres sont les mêmes, et que la probabilité de tirer cinq chiffres identiques est très faible. »
Probabilité d'avoir cinq chiffres identiques, peu importe lequel (00000, ou 11111, ou 22222, etc.) : $10 \times \left( \dfrac 1 {10} \right)^5 = 10^{-4}$
Probabilité d'avoir cinq 5 : $10^{-5}$
Probabilité d'avoir n'importe quelle séquence précise de cinq chiffres, y compris avec $0$ au premier rang, y compris avec le même chiffre répété cinq fois : $10^{-5}$
Ce qu'Ernst voulait semble-t-il dire est que 81425 semble davantage être sorti du "chapeau du hasard" que 55555.
_______________
« Ah ???? »
Je cite un extrait d'un article de cairn.info https://shs.cairn.info/nucleaire-on-off … 80?lang=fr :
À la question « Quel est le réacteur le plus dangereux, celui dont la probabilité d’accident dans l’année est de 0,0001 ou celui qui a une chance sur 10 000 de connaître un accident dans l’année? », la plupart des individus répondront spontanément le second réacteur. Pourtant la rationalité nous dicte que les deux réacteurs sont aussi dangereux l’un que l’autre (c’est-à-dire 1/10 000=0,0001).
#24 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 19-09-2025 12:58:33
Bonjour Yoshi,
Merci grandement de ces explications et de ces liens dont lesquels je vais me plonger dès que possible ! (Là je termine de coder en JavaScript une fonctionnalité assez sophistiquée qui me prend la tête depuis quatre mois, et dont je viens à bout.)
Je vais effectivement devoir me plonger bientôt dans Python de façon soutenue, et comme j'ai pour principe d'adapter mes connaissances à mes exigences, et non l'inverse, je vais très rapidement me retrouver "dans le grand bain".
Une compréhension de base comme celle que tu proposes me sera donc sans doute précieuse et très utile.
(J'ai brièvement commencé à travailler sur l'ouvrage "Python 3 Les fondamentaux du langage" de Sébastien Chazallet, eux éditions eni. Mais je vais d'abord assimiler tes écrits, et les commentaires qui les accompagnent.)
#25 Re : Entraide (collège-lycée) » Petit calcul de probas concrètes » 19-09-2025 12:46:51
Bonjour Michel,
Je répondrais « les deux, mon général ! »
Je cherche à modéliser mathématiquement la perception subjective d'une probabilité mathématiquement incontestable.
Il y a en effet une quantité indéterminée de probabilités qui sont contre-intuitives, quelles que soient les explications objectives fournies.
Pour reprendre mon exemple de code, pourquoi perçois-je le code s'affichant dans le bon ordre à partir de la première case comme étant ENCORE PLUS fantastique, et donc encore plus improbable, que s'il s'affiche, par exemple, à partir de la troisième cas ?
Deuxième exemple de subjectivité, comme le soulignait très justement Ernst, « 81425 me paraît quand même plus aléatoire que 55555 alors que la probabilité de sortie de ces deux nombres est exactement la même ». Comment mathématiser cette impression ??
Troisième exemple de subjectivité : Un risque de 1 sur 10 000 semble plus important qu'un risque présentant une probabilité de 0,0001.
La première démarche qui me vient à l'esprit est d'appliquer des coefficients de pondération. (Définition de la pondération du très farfelu INSEE : « Pondérer un indice ou une statistique consiste à donner aux valeurs qui les composent un poids différent, en fonction des divers critères qui rendent compte de l'importance relative de chacun des éléments. »)
La difficulté est de trouver les coefficients qui traduisent le mieux la subjectivité face à telle ou telle probabilité. (C'est d'ailleurs la difficulté de tout modèle : il faut qu'il "colle" au mieux à la réalité objective ou subjective.)
Mais il y a sans doute d'autres méthodes mathématiques pour modéliser la perception d'une probabilité.
Les quelques recherches rapides que j'ai effectuées montrent que le concept de "probabilité subjective" fait l'objet d'études plus ou moins approfondies, dans lesquelles les maths semblent bien présentes.
Ces brèves recherches m'ont aussi permis de découvrir la théorie des perspectives https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o … rspectives.
J'aimerais donc profiter de la patience et de la courtoisie de l'IA pour creuser un peu ma demande farfelue, adjectif que j'assume pleinement. (Ma "farfeluité" ne semble pas s'assagir avec l'âge. :-)