Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour,

Pour qu'il y ait bijection, il faudrait que 2 sous ensembles différents de N correspondent à 2 nombres différents de l'intervalle [1,2[
Exemple
x=1.875627........   1 8 75 627......       E1={1,8,75,627.....}
Tous les sous ensembles E qui par concaténation redonnent x sont infinis
Le nombre d'éléments de E est infini, il suffit que les éléments (entiers) soient en ordre croissant, la taille des entiers n'importe pas donc E2={18,75627.......} redonne x, le nombre de combinaisons est infini .
On peut prendre l'intervalle [1,10[ mettre la virgule après le premier chiffre, on a alors la totalité des décimaux,
rationnels (nombre de décimales infini) et irrationnels, à chaque nombre de cet intervalle correspond un unique sous ensemble de N par construction, si je prends un nombre positif de R au hasard et si je place la virgule après le premier chiffre (différent de zéro) alors ce nombre est dans l'intervalle [1,10[

Donc pour faire une bijection, faut-il tenir compte de la place de la virgule, un irrationnel et ce même irrationnel multiplié ou divisé par une puissance de 10 seraient 2 nombres à discerner ? Car sinon je manque de nombres dans R .

Sinon à chaque nombre de l'intervalle [1,10[ (nombre de décimales infini) on peut associer une infinité de sous ensemble de N, de même on peut trouver une infinité de sous ensemble de N qui par concaténation redonne un unique nombre dans l'intervalle [1,10[

La constante de Champernowne
c=0.12345678910111213141516............pour lui associer un sous ensemble, on découpe ce nombre en suite croissante d'entiers consécutifs, pour lui associer une infinité de sous ensembles, on découpe ce nombre en suite croissante d'entiers sans tenir compte de l'écart . On déplace la virgule après le 1, pour que ce nombre soit dans l'intervalle .
Donc pas de bijection possible, à chaque élément (nombre de décimales infini) de l'intervalle [1,10[ correspond une infinité de sous ensemble de N, la cardinalité de l'ensemble des parties de N est connue, le cardinal de R serait inférieur .
Un sous ensemble de N correspond au moins à un nombre de l'intervalle [1,10[
Le décimal 1,4 correspond à 2 sous ensembles de N, E1={1,4} et E2={14}
Pour les nombres (nombre de décimales infini) rationnels ou irrationnels le nombre de sous ensemble de N correspondant est infini . Pour créer une bijection, impossible .

titus

Bonsoir,

J'écris un nombre de l'intervalle, je le découpe en suite croissante d'entiers que je fais correspondre à un sous ensemble de N, 2 nombres différents correspondent à 2 sous ensemble de N différents .
Exemples
1.265479521.......           1 2 6 54 79 521.........               E1={1,2,6,54,79,521.......}
1.333400579.......           1 3 33 400 579..........               E2={1,3,33,400,579.........}
1,834                             1 8 34                                     E3={1,8,34}
Si le nombre de zéros consécutifs est fini, les rattacher au nombre précédent, exemple
1.0004824........             1000 4824................               E4={1000,4824.......}
On peut constater que tous les sous ensembles de N n'apparaissent pas, seuls apparaissent les sous ensembles commençant par 1, 10, 100, 1000 ......etc....
@+

Bonjour Ben 3.14
Cela fait quelques mois que je ne suis pas venu sur ce forum, je vais donc répondre avec un peu de retard.
Tu critiques ma solution en faisant une analogie avec la raréfaction des nombres premiers.
Si ces derniers tendent vers une densité de zéro ils ne l'atteignent jamais et si il est évident que cette densité est
supérieure à la densité des carrés, le calcul est moins intuitif.
Un système qui dans un espace donné (nombres consécutifs) voit sa densité successivement divisée par deux après un certain nombre d'étapes est accepté de la communauté.
L'autre système consistant à prouver chaque cas ne peut pas aboutir vu que le nombre de cas est infini.
Si cela t'intéresse je peux te démontrer qu'il n'y a pas d'autres boucles que le cycle trivial 4-2-1.
@+
Titus.

Bonjour Sinuspax.

La preuve de l'existence d'ensembles indénombrables est donnée par la diagonale de Cantor.
Pour l'infini actuel et l'infini potentiel déjà connu d'Aristote, Aristote opte pour l'infini potentiel et Démocrite opte pour l'infini actuel, de nos jours, ce sont surtout les mathématiciens et les cosmologistes qui utilisent l'infini actuel.
De toute façon ce ne sont que des concepts ou des images pour cerner la réalité, on ne leur en demande pas plus.
Pour montrer que R est dénombrable, il suffit de constater que la diagonale est fausse, on peut considérer qu'elle peut être mise sous forme de syllogisme.
Soit une liste de nombres appartenant à un ensemble (D,Q,R ou un sous ensemble de R) dans [0,1]
Le nombre créé à partir de la diagonale est aléatoire par construction, il ressemble à un élément de R
Si les nombres de cette liste ressemblent à des nombres aléatoires alors cet ensemble est non dénombrable.

Même s'il n'y a aucune corrélations, c'est la preuve de Cantor.
L'autre preuve, je l'ai donné à Barbichu, je sais qu'il me répondra donc je n'ai juste qu'à attendre, je lui laisse le temps.
http://www.réunion.iufm.fr/recherche/irem/histoire/l'infini_en_mathématiques.htm
http://agamath.ifrance.com/l infini math.pdf

Titus

Bonjour.

Réponse à #28 et #31

Chercher l'intervalle le plus petit n'a pas de sens, c'est un segment, on peut toujours le diviser par 1000 et sans fin, donc impossible à calculer

Un intervalle est strictement supérieur à zéro, deux nombres dont le premier milliard de décimales est commun ont la suite de leurs décimales différente jusqu'à l'infini, condition suffisante pour la preuve : (i>0) l'infinité des décimales communes ne peut pas être atteint, on atteint pas l'infini.

Dans l'intervalle [0,1] la somme des intervalles i1+i2+i3+...i[tex]\infty[/tex]=1
Le nombre d'intervalles est un entier.
Ce nombre est aussi celui des points à un près. 
Le segment 1 divisé par le nombre de points (-1) donne l'intervalle moyen (rationnel)
Le segment 1 divisé par l'intervalle moyen donne le nombre de points à un près.
Comme on connait le segment et que l'intervalle moyen est borné, on peut borner le nombre de points.
L'intervalle moyen im>0
soit p le nombre de point, p=[tex]\frac{1}{im}=\infty[/tex]dénombrable
p est le nombre de réels sur l'intervalle [0,1]
Je vous laisse tirer les conclusions.

Bien amicalement

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Titus

Bonjour.

Avez vous lu le message 27, où j'explique pourquoi un intervalle ne peut pas être égal à zéro à cause de la limite que représente l'infini.

Un autre exemple, je divise un nombre par 2 à l'infini, vous pouvez remplacez 2 par  [tex]\sqrt{3}[/tex] si vous voulez, ce nombre tend vers l'infiniment petit, dans un calcul ce nombre peut quelquefois être considéré comme nul mais pas dans mon raisonnement sinon pour l'exemple 5 divisé par 2 puissance 100000, si vous arrondissez, comment faites vous l'opération inverse pour retrouver 5.

Donc quand vous dites que mon intervalle moyen est nul vous voulez dire infime ou nul, car ce n'est pas du tout la même chose, si cet intervalle moyen ne peut pas correspondre à un intervalle du segment ou alors par le simple fait du hasard, c'est normal puisque c'est une moyenne.
Etes vous d'accord que l'on ne peut pas atteindre l'infini et encore moins le dépasser?
Si oui, êtes vous d'accord que l'intervalle entre zéro et r1 ne peut être nul (message 27)
Si tous les intervalles sont non nuls R est dénombrable,
Si vous n'acceptez pas la première proposition,  c'est que vous avez hérité des concepts de Cantor, dès lors vous n'êtes plus objectif ni impartial pour juger Cantor puisque vous l'avez déjà accepté dans votre raisonnement.
Si R est dénombrable les fractales ne vont pas disparaitre par contre beaucoup de choses vont devenir plus simples.
Pour prendre des images, est-ce-que je peux trouver l'entier naturel le plus grand, pour moi la réponse semble évidente, non j'en trouverais toujours un plus grand ([tex]\infty[/tex]+).
prenons deux nombres r1=0,9994351....et 1, on peut supposer que plus la suite de 9 est longue plus l'intervalle entre ces deux nombres est petit, est-ce-que je peux trouver la suite la plus longue, non bien sur j'en trouverais toujours une plus longue.
donc il y aura toujours un intervalle infime entre r1 et 1.
Donc avant d'aller plus loin, qu'entendez vous par intervalle nul ?
Qu'est-ce-que j'entends par intervalle ?
http://algo.inria.fr/séminars/sem03-04/lhote-slides.pdf
page 52 sur 117

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Titus

Bonjour.

Je prends un segment de droite AB  de 15 cm, j'y place les points B, C, D et E au hasard (les intervalles sont différents) mais dans cet ordre, j'ai donc 5 intervalles et un intervalle moyen de 3 cm.

La somme de ces intervalles donne 15 cm, le produit de l'intervalle moyen par le nombre d'intervalles donne 15 cm, quand bien même l'un des intervalles serait infinitésimal, inutile de faire intervenir une quelconque analyse non standard.

Si je place une infinité de points sur le segment, j'aurai une infinité d'intervalles, un de plus pour être précis, j'aurai quand même un intervalle moyen non nul (le plus petit des intervalles est bien sur lui aussi non nul mais comme il n'intervient pas dans le raisonnement on n'en parlera pas davantage). L'intervalle, même le plus petit est non nul parce que les nombres sont distincts.

On peut placer le segment sur la droite des réels, A correspond à zéro et B correspond à l'entier naturel 15. Les points correspondent aux nombres entiers ou réels. Intervalles et longueurs sont synonymes dans ce cas.

proposition 1
Il y a toujours un intervalle entre deux points r1 et r2 (exemple ici l'intervalle AR1 est égal à r1, l'intervalle R1R2 est égal à AR2-AR1 soit r2-r1) les nombres sont distincts.
proposition 2
La puissance du continu est indépendante de la longueur du segment, mon segment de 15 cm fait donc l'affaire.
proposition 3
Je divise mon segment de 15 cm par l'intervalle moyen exprimé en cm, je ne le calcule pas bien sur, je sais qu'il existe et qu'il est non nul (l'intervalle)
proposition 4
En divisant mon segment par l'intervalle moyen (non nul) je trouve à un près le nombre de points, ce nombre ne peux pas être plus grand que l'infini dénombrable.
Je ne fais pas de théorème, que des propositions, chacun ses limites.

Si vous voulez une belle démonstration, il faudra que vous la fassiez vous même.
Ce raisonnement est le mien je ne risque pas de le retrouver sur wikipédia, à moins de le recopier mais déjà qu'il a du mal à passer sur bibmath.
Quand je parle du segment AB la longueur est continue, les intervalles sont tous des longueurs (je procèderais différemment avec la poussière de Cantor dans son ensemble triadique) en supposant que sur ce segment, les points soient comme posés, ils n'interfèrent en rien sur la longueur du segment et si je rajoute un point là où il y en avait une infinité, j'aurai un intervalle de plus, je ne vois pas en quoi il faut un vrai travail de formalisation pour sommer tous les intervalles même s'ils sont infinis et constater qu'ils font 15 cm, d'ailleurs je ne vois pas pourquoi je devrais subir une formalisation alors que Cantor en a été privé de son vivant.
Plus une cible est petite plus elle est difficile à atteindre, sachant qu'il y a autant de points que d'intervalles (à un près) et qu'un point a une longueur nulle si je vise le segment je tombe sur un intervalle. Un intervalle ou une longueur n'a pas plus d'existence matérielle puisqu'il s'agit du produit du référentiel, ici segment unité par un nombre.

Je peux faire un effort pour référencer mes sources, mais cela ne peut être que dans le futur, car jusqu'ici je n'ai jamais collectionné les adresses des sites.

Bien cordialement,

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Titus

Bonjour Spx et bonne année à Yoshi.

Analysons la diagonale de Cantor.
A partir du nombre obtenu sur la diagonale, Cantor obtient un nouveau nombre x très aléatoire dans ses décimales, par construction.

Un nombre très aléatoire ne peux ressembler qu'à un réel et tous les réels ne sont pas aléatoires au même degré.

Si on liste des rationnels, le nouveau nombre x ne risque pas d'être un rationnel, donc l'ensemble Q est dénombrable.

Si on considère le sous ensemble des réels calculables [tex]\pi ;\sqrt{2};\sqrt{x+1}[/tex];e etc...le nouveau nombre x n'étant pas un réel calculable, ce sous ensemble est dénombrable, Cantor nous dit que tous les sous ensembles de R sont dénombrables or tous les nombres que nous connaissons sont calculables dans le sens où un programme peut calculer décimales après décimales dans un temps infini pi par exemple, donc les nombres non calculables devraient être indénombrables.

Pour voir ces nombres il faut avoir la foi puisque pour exhiber un seul de ces  nombres il ne faut jamais cesser de l'écrire sous peine de le voir se transformer en rationnel (décimal ) donc calculable et appartenant à un ensemble dénombrable.

Maintenant que l'on sait comment fonctionne la diagonale de Cantor à défaut de convaincre qui que ce soit que Cantor avait une araignée au plafond, je peux vous fournir un moyen d'accélérer vos travaux, si un ensemble de nombres, de suites ou de quoi que ce soit d'infini obéit à un quelconque ordre, cet ensemble est dénombrable, si par compte l'ensemble est totalement aléatoire alors cet ensemble est indénombrable.

Réponse à Barbichu
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Si R est dénombrable, aleph 1 n'existe plus
Si aleph 1 n'existe pas, l'hypothèse du continu n'existe plus( pas de sous ensemble entre aleph 1 et aleph 0 qui ont plus d'éléments que N et moins que R )
Si l'hypothèse du continu n'existe pas, godel n'a plus rien à dire à son sujet
Si les aleph 1 et supérieur n'existent pas, beaucoup de choses à revoir
Si la diagonale est fausse, beaucoup de choses à revoir

A quel moment Cantor explique-t-il que sa bijection est la vraie et unique façon de compter dans les ensembles infinis, mais peut être qu'il s'agit encore d'un postulat, il semblerait qu'il y en ait de plus en plus.

Une autre disposition (anti diagonale) en base 2 pour gagner de la place
r1=0.000...
r2=0.100...
r3=0.010...
r4=0.110...
r5=0.001...
r6=0.101...
r7=0.011...
r8=0.111...

On peut faire la même chose en base 10.

Finalement il fallait peu de choses, sans cette vilaine diagonale impossible de trouver un nombre qui ne soit pas dans la liste, R est dénombrable.
Il semblerait que le seul ensemble indénombrable soit l'ensemble D l'ensemble des diagonales.
Si on prend le système plus conventionnel de Cantor forcément vrai puisqu'il existe depuis longtemps (qu'est ce que la vérité pour un romain : ce qui existe depuis longtemps doit être accepté) on voit bien que dans sa liste il manquera toujours énormément de nombres même si la liste est infinie qu'il s'agisse de Q ou de R,  trouver un nombre qui n'appartient pas à la liste ne prouve rien. De plus le nombre qu'il trouve est aléatoire, aucune corrélation avec les ensembles concernés. conclusion : R ressemble à un ensemble dont certains éléments (les plus nombreux) ont une suite de décimales aléatoires.
Il suffirait de trouver un ensemble plus aléatoire que R pour démontrer que R est dénombrable mais cela ne va pas être facile.

La suite demain, comment montrer qu'une partie de N est infiniment plus grande que N avec comme aide uniquement des règles permises par Cantor, comme pouvoir atteindre l'infini et même le dépasser.

TTS

Bonjour.
Comme je le disais cette discussion est partie en sucette, c'est un motif suffisant pour la supprimer.
Dans l'hypothèse du continu de Cantor, les réels semblent se toucher,c'est une image,
prenons un segment AB de 10 cm, un point a une mesure nulle, une infinité de points a une mesure nulle, avec un laser de mesure nulle combien aurais-je de chance de tomber sur un nombre plutôt que sur un intervalle.
Or on sait que les réels sont distincts donc il ne peux y avoir un intervalle de zéro entre deux réels. (rappelé pour la phrase suivante).
Un espace même infime entre chaque réels suffit pour dire que l'ensemble est dénombrable et donc que l'hypothèse de Cantor est fausse (pas d'aleph1). Pour plus d'information revoir le post 1.
Or ces ensembles, sans vérifier s'ils existent, ont permis à travers eux d'échafauder des théorèmes ( Gödel ) et bien d'autres choses.
Je m'arrête là pour ne pas finir en brulot.

@+
titus

Bonjour,

Une fortune "infinie" était une image, d'ailleurs l'ensemble de ce qu'il y a à acheter est aussi un ensemble fini.

Les mathématiciens ont crée les ensembles infinis parce qu'ils sont utiles et s'en faire une représentation exacte dans notre réalité n'est pas leur préoccupation première.

Lire dans l'avenir, tu veux dire comme madame irma, on a déjà beaucoup de mal à lire dans le passé et les scientifiques qui se posent la question sont assez marginaux, je pense que l'existence d'ensembles infinis contenant tous leurs éléments ne suffirait pas pour lire dans l'avenir, mais je peux me tromper.

@+

Bonjour.
Ce raisonnement est celui de Daniel Goldston de l'université de San José.

2-3-5-7-11-13-17-19(23)29-31(37)41-43(47)(53)59-61(67)71-73(79)(83)(89)(97)101
Kelly et Pilling ont montré que la quantité de premiers simples, entre parenthèse, vérifie une loi logarithmique pour les grands nombres.

La constante de 1/16 tend vers  [tex]\frac{1}{\infty }[/tex] quand j tend vers l'infini.
C'est ce qu'il leur reste à prouver.
En partant d'un couple de jumeaux j et j+2 je trouve le suivant et encore le suivant jusqu'à un couple aussi grand que je veux.

L'hypothèse "il existe au moins 2 couples de jumeaux entre 2 carrés impairs" est plus difficile à prouver.

@+