Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour à tous,

Mille excuses à Tibo d'avoir mal interprété sa réponse. Et merci à toi, Yoshi, pour tes éclairages.
La méthode arabe est géniale mais demande un travail de positionnement qui s'avère vite difficile à gérer. Cependant il faudrait l'étudier.
La méthode suivante associe addition horizontale (voir ci-dessus) et addition verticale (avec retenue). Tout faisable à la main.
On a trois étapes :

1) Calcul des multiples ordonnés en carré
2) Calcul des sommes diagonales du carré
3) Décalage et résultat

Ex :

26 x 34

6 18
8 24

8 + 18 = 26

06
026
0024

884

682 x 253

12 16 04
30 40 10
18 24 06

30 + 16 = 46
18 + 40 + 04 = 62
24 + 10 = 34

(Ce calcul se fait mentalement : 18 + 40 + 04 = 10 + 40 + 8 + 4).

12
046
0062
00034
000006

172546

6232 x 7453

42 14 21 14
24 08 12 08
30 10 15 10
18 06 09 06

(J'abstrais la phase intermédiaire)

42
038
0059
00054
000029
0000019
00000006

46447096

Encore une petite dernière ...

12378456 x 25874215

02 04 06 14 16 08 10 12
05 10 15 35 40 20 25 30
08 16 24 56 64 32 40 48
07 14 21 49 56 28 35 42
04 08 12 28 32 16 20 24
02 04 06 14 16 08 10 12
01 02 03 07 08 04 05 06
05 10 15 35 40 20 25 30

02
  09
    24
      52
        93
         135
           160
              166
                157
                  137
                    113
                        78
                          37
                            31
                              30

320282831912040

Sinus

Re,

J'ai corrigé le 14.. Pour ce qui est de l'époque, vérif sur Wikipédia ("numération positionnelle") : ce n'est qu'à la Renaissance véritablement que le système positionnel s'est imposé. Mon histoire est  imaginaire mais plausible.
Une multiplication en chiffres romains ?

682 x 253

DCLXXXII . CCLIII

DC (LXXX (II
CC (L (III

DC . CC = RPP
DC . L = PPP
DC . III = MDCCC
LXXX . CC = PNM
LXXX . L = MN
LXXX . III = CCXL
II . CC = CD
II . L = C
II . III = VI

RPP PPP MDCC PN(M) (M)N CCXL (C)D (C) VI

RPPPPPPNNMDDCCCCCXLVI

RQPPMMDXLVI (172546)

Les lettres entre parenthèses s'annulent.
J'ai dû ajouter des lettres : N (5000), P (10000), Q (50000), R (100000). On utilise des tables de multiplication jusqu'à IX (comme en position) et une table de conversion des résultats . X (ex : XV . X = CL . X = MD . X = PN ...).
Maintenant, pour la division, c'est un peu plus difficile (comme en position) mais c'est très faisable.

1529 / 38

MDIXXX / XXXVIII

On essaye XL (voir algo multiplication). Il reste IX. On convertit IX en XC. Il y va deux fois. Reste XIV. On convertit XIV en CXL. Il y va trois fois. Etc ...
Résultat : XL,XXIII.

2703 / 97

MMDCCIII / IIIC

On essaye XX. Il reste MCMXL. On retranche MCMXL de MMDCCIII (voir algo soustraction). Il reste DCCLXIII. Il y va sept fois. Il reste DCLIXXX. On retranche DCLIXXX de DCCLXIII. Il reste LXXXIV. On convertit en DCCCXL. Il y va huit fois.
Etc ...
Résultat : XXVII,VIII.

NB : il est très facile d'additionner IIIC avec lui-même. VIII . IIIC = VIII . C - VIII . -III = DCCC - XXIV =  DCCLXXVI.

Encore une fois, le but du jeu n'est pas de concurrencer le système positionnel, mais de lever le préjugé selon lequel on ne peut pas calculer avec des chiffres romains.
Par ailleurs, il y a un mode de calcul inhérent à ce système (associatif) et c'est cela qui est intéressant (selon moi).

Bonjour,

Je n'ai aucune prétention mathématique. Je suis un béotien, terre à terre et borné. Il y a certaines réponses que j'aimerais obtenir une fois pour toutes, et on ne me les donne pas, ou alors en me disant "ce qu'il faut dire" ou "ne pas dire".
Je repose mes questions (notez qu'elles sont idiotes, mais très précises). Je demande donc des réponses précises et brèves pour chaque question. Sinon la théorie ne marche pas ou est incomplète.

1) Si un ensemble contient "une infinité" d'éléments, quelle est la taille d'un seul élément de cet ensemble ?

2) Si N est "infiniment" plus grand que tout entier fini, il s'ensuit qu'aucun entier fini ne peut dénombrer N. Dans ce cas, pourquoi N est-il dénombrable ?  Et par QUOI l'est-il ?

3) Si un irrationnel quelconque a "une infinité" de décimales, quel est son successeur ?

Amclmt

Sinus

Bonjour,

Merci Barbichu de tes réponses.
En admettant que l'ensemble R soit valide (encore une fois, il faut partir d'un infini "absolument" infini), il y a le problème des successeurs. Le successeur de PI, par exemple, a les mêmes décimales que PI (toujours dans ce concept d'infini). Peut-être qu'une démo existante prouve qu'ils sont différents, mais pas l'observation. Si les réels appartiennent à un ensemble, il faut abandonner dans ce cas le principe de successeur/prédécesseur, qui est une propriété de N.
Par "dénombré par un entier" j'entendais évidemment "fini". Aucun entier fini ne peut dénombrer Aleph-0 (= 1 suivi d'une infinité de zéros). Ou, dit autrement, Aleph-0 n'appartient pas à N. Dans ce cas, comment peut-il être le cardinal de N ? 
"Transfini" est juste un mot pratique pour qualifier des "entiers infinis". Or, un entier infini n'appartenant pas à N, comment peut-il  "dénombrer" N ?
Je pense que les mathématiques (comme la philosophie et les arts) sont surtout une affaire de représentation. Quelque chose de vrai exprimé dans un code inadapté paraîtra "faux". Inversement, quelque chose de faux exprimé dans le bon code pourra paraître "vrai".

SPX

Bon, sans doute que ma question est déplacée.
A Titus : si tu remplaces le vieux concept d'infini continu (= l'infini contient tous ses éléments en même temps) par le concept d'infini discret (= l'infini contient tous ses éléments un par un), ta théorie de R dénombrable est très plausible.

SPX

Salut Yoshi,

Merci de laisser cette discussion ouverte.

SPX

Titus,

on ne peut remettre en question la théorie du continu sans toucher à l'édifice cantorien des ensembles infinis.
Soit on accepte cette théorie et "tout va bien", soit on la rejette et tout est à redéfinir.
Comme toi, je ne la reconnais pas. Mais je me rends compte du même coup que le concept d'infini global ne tient plus.
En effet, ce concept veut qu'un ensemble puisse contenir une "infinité" d'éléments. Seulement, si je divise chacun des éléments d'un tel ensemble infini par l'infini (par Aleph), j'obtiens toujours zéro. Or, si chaque élément d'un ensemble infini est nul, cet ensemble est vide. On va me dire que l'infini n'est pas un nombre, et je suis d'accord.  Mais dans ce cas pourquoi donner un cardinal infini à N (Aleph) ?
Pour moi, le continu est étroitement lié à l'infini global : si un ensemble contient une infinité d'éléments, ces éléments sont nécessairement "indénombrables" (on ne peut les distinguer), et cette impossibilité de dénombrement fait que l'ensemble ne contient ni "dernier" ni "premier" élément. Or, un tel ensemble est vide et le continu ne peut exister (c'est un ensemble vide).
Je rejette donc le concept d'infini global et je tente, aussi maladroitement que le peut un béotien de mon espèce, de le remplacer par celui d'infini local, c'est à dire un infini contenant tous ses éléments un par un, et non tous en même temps. Car s'il les contient tous en même temps, on retombe dans le piège du continu.
En conclusion, je ne reconnais qu'un seul infini : l'infiniment fini.

Sinuspax

Bonjour,

Il y a une nuance à faire. Un ensemble infini contient TOUS ses éléments SEULEMENT pour tout rang N de cet ensemble, autrement dit CHAQUE élément de cet ensemble infini lui appartient (et non TOUS ses éléments). Si cet ensemble contenait TOUS ses éléments, il serait indénombrable. Comme tu le dis toi-même, il n'aurait pas de dernier élément. J'irai plus loin en disant qu'il n'aurait pas non plus de premier élément. Il serait donc vide. L'espace entre chacun de ses éléments serait nul et on aurait un continu.
Etymologie du mot infini = non fini, non terminé. Le concept (cantorien) d'infini compris comme un tout innombrable est abusif. L'infini n'est pas un système replié sur lui-même. C'est un système ouvert, une bobine et non une boîte.

Bonjour,

J'ai tendance à me méfier des réponses "académiques". J'aime bien poser des questions, même si elles semblent idiotes.
Une fortune "infinie" est une absurdité. De même, un ensemble "absolument" infini.
S'il existait un ensemble infini (= non fini) contenant TOUS ses éléments, nous pourrions lire dans l'avenir à livre ouvert.

Bonjour Titus,

Ton raisonnement est valable uniquement si tu pars de l'hypothèse qu'il existe une infinité de premiers jumeaux ("aussi grands que je veux"). Mais c'est justement ce qu'il faut prouver.