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Mauvaise réponse !
Pour savoir si $X$ et $W$ ont même loi, on se demande si  $P(a<X<b)=P(a<W<b)$ pour tous $a,b$ tels que $0\leq a<b\leq 1$.

On peut commencer par regarder ce qui se passe pour deux variables aléatoires réelles. Prenons comme espace probabilisé $[0,1]$ avec la mesure de Lebesgue, avec dessus les variables aléatoires $X$ et $W$ définies par $X(x)=x$ pour tout $x\in [0,1]$ ,  $W(x)=x$ si $x\in [0,1]\setminus {\mathbb Q}$ et $W(x)=0$ si $x\in [0,1]\cap {\mathbb Q}$. Que peux-tu dire sur cet exemple ?

Bonsoir,
Comme $I$ est l'idéal principal engendré par $T$, bien sûr $I^n$,  la puissance $n$-ème de l'idéal $I$, est l'idéal principal engendré par $T^n$. Je suis d'accord qu'il manque le signe $-$ dans la définition de la distance.
Enfin, le corps $K((T))$ est le corps des $\sum_{n=n_0}^\infty a_nT^n$ où $n_0\in \mathbb Z$ (autrement dit, des séries de Laurent avec un nombre fini de puissances négatives de la variables).

Si

Bonjour,
Fixons $A$ dans le plan euclidien. L'ensemble les couples $(B,C)$ tels que le périmètre de $ABC$ soit égal à $1$ est une partie  compacte du produit cartésien du plan euclidien avec lui-même. La fonction "aire de $ABC$" est continue sur ce compact, elle y atteint donc son maximum. Un triangle $ABC$ non équilatéral ne réalise pas le maximum de l'aire vu l'argument du message #3. Donc le maximum est atteint pour $ABC$ équilatéral.

Bonjour,
$$\left\{\begin{align}
x+y&=1\\
x-y&=3
\end{align}\right.$$
Clic droit pour voir le code $\LaTeX$.

Bonsoir,
C'est du très sérieux. Une publication dans Annals of Mathematics, ce n'est pas n'importe quoi !
Et les intervenantes du podcast sont des mathématiciennes de tout premier plan.

@Borassus : pour modérer ton enthousiasme, ce qui est vraiment utile pour une progression géométrique, c'est bien la somme des termes et pas leur produit.
Le fait que la même "philosophie" en termes de moyenne s'applique pour la somme des termes d'une progression arithmétique et pour le produit des termes d'une progression géométrique, c'est simplement que l'on passe d'une situation à l'autre par exponentielle/logarithme.
Pour revenir à la façon d'illustrer les formules , dans le cas d'une progression arithmétique il y a le dispositif bien connu qui consiste à recopier la progression en inversant l'ordre : $$\begin{array}{cccccc}0&1&2&\ldots&n-1&n\\n&n-1&n-2&\ldots&1&0\end{array}$$ et à faire la somme des deux lignes pour trouver $n(n+1)$.
Dans le cas d'une progression géométrique, on peut recopier la progression multipliée par la raison $r$ en décalant d'un pas : $$\begin{array}{c|ccccccc}&1&r&r^2&\ldots&r^{n-1}&r^n&\\\hline{}\times r&&r&r^2&\ldots&r^{n-1}&r^n&r^{n+1}\end{array}$$ et faire la différence des deux lignes pour trouver que $1-r$ fois la somme des termes est $1-r^{n+1}$.

Bonjour,
De quelle relation d'équivalence parles-tu exactement ? Que veux-tu dire avec ton $x^{-1} \,y$ ?

Bonsoir,
Ta question est vaine, à mon avis.
Dans le cas d'une progression arithmétique, on additionne à chaque fois la raison, et comme on cherche la somme des termes, ça colle bien avec la moyenne arithmétique.
Dans le cas d'une progression géométrique,  on multiplie à chaque fois par la raison,  et comme on cherche la somme des termes, ça ne colle plus. Si on cherchait le produit des termes, ça collerait  avec la moyenne géométrique.

J'ai expliqué la solution correcte dès mon premier  message  #3 ci-dessus...   :(

M'enfin, Bernard-maths, qu'est-ce que tu racontes ??? Il y a deux colonnes. Donc ton nombre de choix possibles d'une colonne, c'est 2 et pas 1. Si $M=N=p=2$, ton $A_M^p*A_N^p$ c'est bien $2\times 2=4$.