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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Michel Coste
- 24-10-2023 07:52:32
????
Tout groupe abélien est résoluble, or $\mathbb Z/10\mathbb Z$ est abélien.
- Viki098
- 24-10-2023 00:36:59
[tex]\mathbb{Z} / 10 \mathbb{Z}[/tex] est résoluble si, [tex] \ \{ 0 \} \triangleleft 10 \mathbb{Z} \triangleleft \mathbb{Z} \ [/tex] est une chaîne normale dont les facteurs sont abéliens.
Ce qui est évidemment le cas. :-)
Cordialement.
- Michel Coste
- 23-10-2023 23:21:35
Quelle est la définition de groupe résoluble ?
- Viki098
- 23-10-2023 19:58:34
Bonsoir,
Toutes les racines de l'équation habitent dans l'extension cyclotomique $\mathbb Q(\zeta)$ où $\zeta$ est une racine primitive 11e de l'unité. Le groupe de Galois de cette extension est $\mathbb Z/10\mathbb Z$, on ne fait pas plus résoluble !
Comment montrer que, [tex]\mathbb Z/10\mathbb Z[/tex] est résoluble s'il vous plaît ?
Merci.
- Rescassol
- 22-10-2023 20:44:38
Bonsoir,
Oui, même si ce n'est pas une preuve, c'est un bon indice.
Merci, Michel.
Codialement,
Rescassol
- Michel Coste
- 22-10-2023 20:35:00
Je ne sais pas formuler d'argument, mais tu peux remarquer qu'on prend une racine carrée de nombre négatif quand les trois racines du polynôme de degré 3 sont réelles. Ici aussi, les cinq racines du polynôme sont réelles.
- Rescassol
- 22-10-2023 18:47:23
Bonsoir,
Dans le cas général, non. Mais dans ce cas particulier, peut on justifier que c'est impossible?
Cordialement,
Rescassol
- Michel Coste
- 22-10-2023 18:22:52
"Si on veut critiquer à tout prix, il faudrait une écriture sans racines carrées de nombres réels négatifs."
Et tu voudrais ça aussi pour la résolution par radicaux de l'équation du 3e degré ?
- Rescassol
- 22-10-2023 17:29:22
Bonjour,
Merci Michel, c'est impressionnant. Il y a peu de chance d'y arriver à la main.
Si on veut critiquer à tout prix, il faudrait une écriture sans racines carrées de nombres réels négatifs.
Cordialement,
Rescassol
- Michel Coste
- 22-10-2023 13:11:41
Maple satisfait ta curiosité :
- Rescassol
- 22-10-2023 12:51:45
Bonjour,
Bon, d'accord, j'aurais mieux fait de me taire.
je suis quand même curieux de voir une telle solution.
Cordialement,
Rescassol
- Michel Coste
- 22-10-2023 10:22:31
Toutes les racines de l'équation habitent dans l'extension cyclotomique $\mathbb Q(\zeta)$ où $\zeta$ est une racine primitive 11e de l'unité. Le groupe de Galois de cette extension est $\mathbb Z/10\mathbb Z$, on ne fait pas plus résoluble !
- Rescassol
- 22-10-2023 10:04:38
Bonjour,
Oui, Michel, tu as raison, mais ça m'étonnerait quand même que cette équation soit résoluble par radicaux.
Sais tu calculer son groupe de Galois ?
Cordialement,
Rescassol
- Black Jack
- 22-10-2023 09:59:46
Bonjour,
En poursuivant la méthode préconisée par Michel Coste, on arrive à :
$\displaystyle P(cos(\frac{6\pi}{11}))= cos(\frac{5*6\pi}{11}) + cos(\frac{4*6\pi}{11}) + cos(\frac{3*6\pi}{11}) + cos(\frac{2*6\pi}{11}) + cos(\frac{6\pi}{11}) + 1 $
...
- Michel Coste
- 21-10-2023 23:26:44
Hum hum Rescassol, tu confonds résolubilité par radicaux et constructibilité à la règle et au compas.