Forum de mathématiques - Bibm@th.net

re . 
    @ je viens de regarder et je dois dire qu'ils auraient pu rapprocher le point  M de l'origine et là on le
voyait vraiment sur la courbe et non sur l'assymptote.

                                                                        à plus.

Salut à tous.

  si je prend la fonction inverse dont la courbe est symétrique à la première par rapport à la première bissectrice.

  son équation [tex]y = \sqrt{(1 + x^2)}[/tex] pour [tex] y>0[/tex]

  soit A son point d'intersection avec l'axe des y.    M un point d 'abscisse x   sur l'hyperbole et H , sa projection sur x'Ox.

Je vais calculer l'aire du secteur OAMH délimité par les 2 axes , la courbe et MH.

[tex]S = \int_0^x\sqrt{1 + x^2}.dx[/tex]  . je pose [tex]x = \sinh{(t)}[/tex] et [tex]dx = \cosh{(t)}.dt[/tex]

  l'intégrale devient : [tex]\int_0^t\sqrt{1 + \sinh^2{(t)}}. \cosh{(t)}.dt = \int_0^t\cosh^2{(t)}. dt = \int_0^t\frac{\cosh{(2t)} + 1}{2} . dt[/tex]

Alors [tex] S = \int_0^t\frac{\cosh{(2t)}}{2}.dt + \int_0^t\frac{dt}{2} = \left[\frac{\sinh{(2t)}}{4}\right]_0^t + \left[\frac{t}{2}\right]_0^t = \left[\frac{\sinh{(t)} . \cosh{(t)}}{2}\right]_0^t + \left[\frac{t}{2}\right]_0^t[/tex]

  or sur cette courbe symétrique : [tex]x = \sinh{(t)}[/tex]  , [tex] y = \cosh{(t)}[/tex] et [tex]t = arg\sinh{(x)}[/tex]

donc [tex]S = \frac{x.y}{2} + \frac{1}{2}.Arg\sinh{(x)}[/tex]

or le premier membre est l'aire du triangle OMH . et pour conclure : l'argument t recherché est le double
de l'aire de la zone comprise entre la courbe , l'axe des y et le segment OM. soit 2 fois le secteur OAM.

Bonsoir.

Si je trace l'hyperbole d'équation [tex]x^2-y^2=1[/tex] , et M un point quelconque sur cette courbe.

Les coordonnées de M sont [tex]x = \cosh(\phi) \;\; et\;\; y = \sinh(\phi)[/tex], d'ou l'appellation cosinus et

sinus hyperboliques . Mais alors , sur la figure , ou est l'argument [tex]\phi[/tex] en question ? ; et surtout,

comment le trouve-t-on ?
                                                                       à plus.