Calcul de limites détaillé - Bibm@th.net

Exercice 1 - Calcul de limites détaillé ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

1. Montrer que si $x$ et $y$ sont des réels, on a : $$2|xy|\leq x^2+y^2$$
2. Soit $f$ l'application de $A=\mtr^2\backslash\{(0,0)\}$ dans $\mtr$ définie par $$f(x,y)=\frac{3x^2+xy}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ Montrer que, pour tout $(x,y)$ de $A$, on a : $$|f(x,y)|\leq 4\|(x,y)\|_2,$$ où $\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}.$ En déduire que $f$ admet une limite en $(0,0)$.

Indication

1. Utiliser le fait que $(|x|-|y|)^2$ est positif.
2. C'est une simple application de l'inégalité triangulaire.

Corrigé

1. On a : $$0\leq (|x|-|y|)^2=x^2+y^2-2|xy|.$$
2. L'inégalité de la question précédente se réécrit encore encore en $$|xy|\leq \frac{\|(x,y)\|^2_2}{2}.$$ On en déduit, d'après l'inégalité triangulaire $$|f(x,y)|\leq \frac{3\|(x,y)\|^2_2+\frac{\|(x,y)\|^2_2}{2}}{\|(x,y)\|_2}\leq 4\|(x,y)\|_2.$$ Ainsi, si $(x,y)$ tend vers 0, on a $|f(x,y)|$ qui tend vers 0.