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Calcul de dérivées partielles et fonction de classe $\mathcal C^1$ (d'après oral CCINP) - Bibm@th.net

Exercice 1 - Calcul de dérivées partielles et fonction de classe $\mathcal C^1$ (d'après oral CCINP) ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

On définit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $$f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ si $(x,y)\in\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$ et par $f(0,0)=0.$

Justifier que $f$ est continue sur $\mathbb R^2.$
Démontrer que $f$ admet des dérivées partielles par rapport aux deux variables en tout point $(x,y)\in\mathbb R^2$ et les calculer.
La fonction $f$ est-elle de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^2$ ?

Indication

Corrigé

On sait que, pour tout $x\in\mathbb R,$ $|x|=\sqrt{x^2}\leq \sqrt{x^2+y^2}$ par croissance de la fonction racine carrée. Ainsi, pour $(x,y)\in\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\},$ $$|f(x,y)-f(0,0)|\leq |y|$$ et $|y|$ tend vers $0$ si $(x,y)$ tend vers $(0,0)$. Ainsi, la fonction $f$ est continue en $(0,0)$. Et $f$ est continue sur $\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas.
D'abord, $f$ est $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}$ comme quotient de fonctions $\mathcal C^1$ dont le dénominateur ne s'annule pas. De plus, pour $(x,y)\neq (0,0)$, posant $u(t)=\frac{ty}{\sqrt{t^2+y^2}},$ on a $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=u'(x).$$ On calcule $u'(x)$ par les méthodes usuelles, en remarquant que $$u(t)=\frac{a(t)}{b(t)}\textrm{ avec }a(t)=ty\textrm{ et }b(t)=\sqrt{t^2+y^2}.$$ et donc en particulier $$v'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+y^2}}.$$ On en déduit \begin{align*} u'(x)&=\frac{y\sqrt{x^2+y^2}-\frac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}\\ &=\frac{y(x^2+y^2)-x^2y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\\ &=\frac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}. \end{align*} Par symétrie du rôle joué par les variables, on a aussi $$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.$$ Pour déterminer si $f$ admet une dérivée partielle par rapport à la première variable en $0,$ on va revenir à la définition de cette dérivée partielle : $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ existe si la fonction $x\mapsto f(x,0)$ est dérivable en $0,$ c'est-à-dire si le taux d'accroissement $$\frac{f(h,0)-f(0)}{h}$$ admet une limite lorsque $h$ tend vers $0$. Mais $f(h,0)-f(0,0)=0$ et donc le taux d'accroissement précédent est identiquement nul. Ainsi, $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ existe et vaut $0.$ Par symétrie, $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ existe et vaut $0.$
Il suffit d'étudier si $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ sont continues en $(0,0)$. Mais, pour $x>0,$ d'après le calcul effectué auparavant, $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,x)=\frac{x^3}{(2x^2)^{3/2}}=\frac1{2\sqrt 2}.$$ Ainsi, $$\lim_{x\to 0}\frac{\partial f}{\partial x}(x,x)=\frac1{2\sqrt 2}\neq \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.$$ La dérivée partielle par rapport à la première variable n'est pas continue en $(0,0)$ et $f$ n'est pas de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R^2.$