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Exemple de loi conjointe - calcul de covariance - Bibm@th.net

Exercice 1 - Exemple de loi conjointe - calcul de covariance ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Soit $a\in\mathbb R.$ On considère un couple $(X,Y)$ de variables aléatoires de loi conjointe donnée par $$\forall (i,j)\in\mathbb N^2,\ P(X=i,Y=j)=a\frac{i+j}{i!j!}.$$

Déterminer $a.$
Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y.$ Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont elles indépendantes ?
Démontrer que le couple $(X,Y)$ admet une covariance et la calculer.

Indication

Corrigé

Pour que ceci définisse la loi d'un couple de variables aléatoires, il suffit de vérifier que $$\sum_{i,j=0}^{+\infty}P(X=i,Y=j)=1.$$ Or, \begin{align*} \sum_{j=0}^{+\infty}P(X=i,Y=j)&=\sum_{j=0}^{+\infty}a\frac{i+j}{i!j!}\\ &=\frac a{i!}\left(i\sum_{j=0}^{+\infty}\frac1{j!}+\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{j}{j!}\right)\\ &=\frac a{i!}\left(\frac ie+\sum_{j=1}^{+\infty}\frac 1{(j-1)!}\right)\\ &=\frac a{i!}(ie+e)=ae\frac{i+1}{i!}. \end{align*} On en déduit que \begin{align*} \sum_{i,j=0}^{+\infty}P(X=i,Y=j)&=\sum_{i=0}^{+\infty}ae \frac{i+1}{i!}\\ &=ae\left(\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i}{i!}+\sum_{i=0}^{+\infty}\frac 1{i!}\right)\\ &=ae \left(\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{(i-1)!}+\sum_{i=0}^{+\infty}\frac 1{i!}\right)\\ &=ae(e+e)=2ae^2. \end{align*} Il faut donc choisir $a=e^{-2}/2.$
Les variables aléatoires $X$ et $Y$ prennent leurs valeurs dans $\mathbb N.$ En utilisant le système complet d'événements $(Y=j),$ pour $j\in\mathbb N,$ on a, pour tout $i\in\mathbb N,$ \begin{align*} P(X=i)&=\sum_{j=0}^{+\infty}P(X=i,Y=j)\\ &=\sum_{j=0}^{+\infty}ae\frac{i+1}{i!} \end{align*} d'après le calcul fait à la question précédente, et donc $$P(X=i)=\frac{i+1}{2e i!}.$$ Par symétrie du rôle joué par $X$ et $Y,$ on obtient également pour tout $j\in\mathbb N,$ $$P(Y=j)=\frac{j+1}{2e j!}.$$ On observe alors que les variables aléatoires $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes puisque $P(X=0,Y=0)=0$ alors que $P(X=0)P(Y=0)=(1/2e)^2\neq 0.$
Commençons par calculer l'espérance de $X.$ On a \begin{align*} \sum_{i=0}^{+\infty}iP(X=i)&=\frac{1}{2e}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i(i+1)}{i!}\\ &=\frac{1}{2e}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i(i-1)+2i}{i!}\\ &=\frac1{2e}\left(\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{(i-2)!}+2\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{(i-1)!}\right)\\ &=\frac{1}{2e}(e+2e)=\frac 32. \end{align*} De la même façon, $E(Y)=3/2.$ Reste à calculer $E(XY),$ ce que l'on fait à l'aide de la formule de transfert : \begin{align*} E(XY)&=\sum_{i,j=0}^{+\infty}ij P(X=i,Y=j). \end{align*} Commençons par la somme sur $j$ : \begin{align*} \sum_{j=0}^{+\infty}ijP(X=i,Y=j)&= \frac{i}{2e^2 i!}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{j(i+j)}{j!}\\ &=\frac{i}{2e^2 i!}\left(i\sum_{j=0}^{+\infty}\frac j{j!}+\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{j^2}{j!}\right)\\ &=\frac{i}{2e^2 i!}\left(ie +\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{j(j-1)+j}{j!}\right)\\ &=\frac{i}{2e^2 i!}\left(ie+2e\right)\\ &=\frac{i^2+2i}{2e i!} \end{align*} Il vient \begin{align*} E(XY)&=\frac 1{2e}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i^2+2i}{i!}\\ &=\frac 1{2e}\sum_{i=0}^{+\infty}\frac{i(i-1)+3i}{i!}\\ &=\frac{e+3e}{2e}=2. \end{align*} On conclut $$\textrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac{-1}4.$$