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Somme aléatoire de variables aléatoires - Bibm@th.net

Exercice 1 - Somme aléatoire de variables aléatoires ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires discrètes à valeurs dans $\mathbb N,$ définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal T,P),$ de même loi, et soit $N$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal T,P)$ à valeurs dans $\mathbb N$. On suppose que la suite $(Y_n)_{n\geq 0}$ définie par $Y_0=N$ et $Y_n=X_n$ si $n\geq 1$ est une suite de variables aléatoires indépendantes. On considère enfin la variable aléatoire $S$ définie sur $\Omega$ par $$S(\omega)=\sum_{k=1}^{N(\omega)}X_k(\omega).$$
  1. Montrer que $G_S=G_N\circ G_{X_1}$ sur $[0,1].$
  2. En déduire que si $N$ et $X_1$ sont d'espérance finie, alors $S$ est d'espérance finie et $E(S)=E(N)E(X_1).$
Indication
Corrigé