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Résolution d'une équation intégrale - Bibm@th.net

Exercice 1 - Résolution d'une équation intégrale ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé
On souhaite démontrer qu'il existe une fonction $f:[0,1]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[0,1],$ $$f(x)=1+\frac 12\int_0^x f(t^2)dt.$$ Pour cela, on considère la suite de fonctions $(f_n)$ définies sur $[0,1]$ par $f_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$ et tout $x\in[0,1]$, $$f_{n+1}(x)=1+\frac 12\int_0^x f_n(t^2)dt.$$
  1. Démontrer que la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}(f_{n+1}-f_n)$ converge normalement sur $[0,1]$.
  2. En déduire que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction $f$.
  3. Justifier que $f$ est solution du problème.
Indication
Corrigé