Convergence uniforme d'une suite de polynômes avec contrainte - Bibm@th.net

On commence par considérer $(Q_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de polynômes qui converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$. On va la modifier pour que la nouvelle suite vérifie la condition supplémentaire. Pour cela, on pose, pour tout $n\in\mathbb N,$ $$P_n=Q_n-Q_n(c)+f(c).$$ Alors il est clair que pour tout $n\in\mathbb N,$ $P_n$ est un polynôme et que $P_n(c)=f(c)$. De plus, d'après l'inégalité triangulaire, on a $$\|P_n-f\|_\infty \leq \|Q_n-f\|_\infty +|Q_n(c)-f(c)|\leq 2\|Q_n-f\|_\infty.$$ Ainsi, la suite $(P_n)_{n\in\mathbb N}$ converge elle aussi uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.