Dans toute la suite, on pose $\displaystyle u_n(x)=\frac{1}{n(nx+1)}$ avec $x\in\mathbb R_+^*.$
- Puisque les fonctions $u_n$ sont continues sur $\mathbb R_+^*,$ il suffit de démontrer que la série converge normalement sur tout intervalle du type $[a,+\infty[$ avec $a>0$. Soit donc $a>0$ et $x\geq a$. Alors, pour tout $n\geq 1,$ $nx+1\geq na+1>0$. En passant à l'inverse (la fonction inverse est décroissante sur $]0,+\infty[$), on a
$$0\leq u_n(x)\leq \frac{1}{n(na+1)}.$$
Or, le terme de droite est une série numérique convergente. On en déduit la convergence normale de $\sum_{n\geq 1}u_n$ sur $[a,+\infty[,$ et par suite que $S$ est bien définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
- Pour déterminer la limite de $S$ en $+\infty,$ par convergence normale (donc uniforme) sur $[1,+\infty[$, on peut appliquer le théorème d'interversion des limites. On a donc
$$\lim_{x\to +\infty}S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\lim_{x\to +\infty}u_n(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}0=0.$$
La détermination d'un équivalent est plus délicate. On va commencer par conjecturer cet équivalent. Pour cela, on remarque qu'au voisinage de $+\infty,$
$$u_n(x)\sim_{x\to+\infty}\frac1{n^2 x}.$$
Dans un monde idéal, on peut espérer que
$$S(x)\sim_{x\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2 x}=\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}\right)\times\frac 1x.$$
Ceci nous incite à étudier $xS(x)$. Pour cela, on pose, pour $x>0,$
$$v_n(x)=xu_n(x)=\frac{x}{n(1+nx)}$$
et on remarque que, pour tout $x>0,$
$$xS(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}v_n(x).$$
On va appliquer le théorème de la double limite à $S$. Pour cela, on va prouver la convergence normale de $\sum_{n\geq 1}v_n$ sur $[1,+\infty[$. En effet, pour tout $x\geq 1,$ on a $1+nx\geq nx>0$ et donc
$$0\leq v_n(x)\leq \frac{x}{n^2 x}=\frac {1}{n^2}.$$
A nouveau, le membre de droite est le terme général d'une série numérique convergente, et la série $\sum_{n\geq 1}v_n$ converge normalement sur $[1,+\infty[$. Par le théorème de la double limite,
$$\lim_{x\to+\infty}xS(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\lim_{x\to+\infty}v_n(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}.$$
On en déduit que l'on a bien
$$S(x)\sim_{x\to+\infty}\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}\right)\times\frac 1x.$$
- A nouveau, on peut conjecturer la limite en se disant qu'au voisinage de $0$, $u_n(x)$ se comporte comme $\frac 1n,$ et que la série harmonique diverge. Voyons comment rendre rigoureux cet argument. Soit $M>0$. Il existe un entier $N\geq 1$ tel que
$$\sum_{n=1}^N \frac 1n\geq M.$$
Pour $x\in ]0,1/N],$ et $1\leq n\leq N,$ on a
$$1+nx\leq 1+N\times \frac 1N\leq 2,$$
ce qui entraîne, pour ces mêmes valeurs de $x$ et $n,$
$$u_n(x)\geq \frac 1{2n}.$$
On en déduit que, pour $x\in ]0,1/N]$, on a
$$S(x)\geq \sum_{n=1}^N u_n(x)\geq \sum_{n=1}^N \frac1{2n}\geq \frac M2.$$
Ceci prouve que $\lim_{x\to 0^+}S(x)=+\infty.$
