Corrigé 
Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^n$ dont la matrice dans la base canonique est $A$. L'hypothèse nous dit que $u$ est trigonalisable. Autrement dit, il existe une base $(e_1,\dots,e_n)$ de $\mathbb R^n$ telle que, pour tout $j\in\{1,\dots,n\},$ $u(\vect(e_1,\dots,e_j))\subset \vect(e_1,\dots,e_j).$ Soit $(f_1,\dots,f_n)$ la base orthonormale obtenue à partir de $(e_1,\dots,e_n)$
en appliquant le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Alors puisque $\vect(e_1,\dots,e_j)=\vect(f_1,\dots,f_j)$ pour tout $j=1,\dots,n,$ cette base est aussi une base de trigonalisation de $u$. Autrement dit, la matrice de $u$ dans cette base est triangulaire supérieure. On a donc $A=PBP^{-1}$ avec $B$ matrice triangulaire supérieure et $P$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb R^n$ à la base $(f_1,\dots,f_n)$. Comme il s'agit de deux bases orthonormales, la matrice $P$ est orthogonale, et on a prouvé le résultat.
