Enoncé 
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $a,b\in E$. Déterminer l'adjoint $f^*$ de $f\in\mathcal L(E)$ défini par :
$$\forall x\in E,\ f(x)=\langle a,x\rangle b-\langle b,x\rangle a.$$
Corrigé 
Soit $x,y\in E$. On va déterminer l'adjoint $f^*$ en revenant à la définition :
\begin{align*}
\langle f(x),y\rangle&=\langle \langle a,x\rangle b-\langle b,x\rangle a,y\rangle\\
&=\langle a,x\rangle \langle b,y\rangle-\langle b,x\rangle \langle a,y\rangle\\
&=\langle x,a\rangle \langle b,y\rangle-\langle x,b\rangle \langle a,y\rangle\\
&=\langle x,\langle b,y\rangle a-\langle a,y\rangle b\rangle.
\end{align*}
On en déduit que
$$f^*(y)=\langle b,y\rangle a-\langle a,y\rangle b=-f(y).$$
