Enoncé 
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|\cdot\|_\infty.$ Démontrer que
$\varphi:E\to\mathbb R,$ $f\mapsto \inf_{[0,1]}f$ est continue.
Corrigé 
On va prouver que $\varphi$ est $1$-lipschitzienne. Pour cela, on considère $f,g\in E$ et soit $t\in [0,1]$. Alors on a
$$\varphi(g)\leq g(t)=g(t)-f(t)+f(t)\leq \|g-f\|_\infty+f(t).$$
On a donc, pour tout $t\in [0,1],$
$$f(t)\geq \varphi(g)-\|g-f\|_\infty.$$
Prenant la borne inférieure, on trouve
$$\varphi(f)\geq \varphi(g)-\|g-f\|_\infty$$
c'est-à-dire $\varphi(g)-\varphi(f)\leq \|g-f\|_\infty.$ Par symétrie du rôle joué par $f$ et $g$, on a aussi $\varphi(f)-\varphi(g)\leq \|f-g\|_\infty$ et donc $|\varphi(g)-\varphi(f)|\leq \|g-f\|_\infty.$ L'application $\varphi$ est $1$-lipschitzienne, donc continue.
