Enoncé 
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé. Soit $g:E\to E,$ $x\mapsto \frac{x}{1+\|x\|}.$ Démontrer que $g$ est une bijection de $E$ dans $B(0,1)$ puis que $g$ et $g^{-1}$ sont continues.
Corrigé 
On commence par vérifier que $g(E)\subset B(0,1)$. En effet, si $x\in B(0,1)$, on a
$$\|g(x)\|=\frac{\|x\|}{1+\|x\|}<1.$$
Soit $y\in B(0,1)$. On cherche à résoudre l'équation $y=g(x)$ avec $x\in B(0,1).$ Si une solution existe, on a $y=\frac{x}{1+\|x\|}$ et donc
$$\|y\|=\frac{\|x\|}{1+\|x\|}.$$
On obtient alors facilement que
$$\|x\|=\frac{\|y\|}{1-\|y\|}$$
et de
$$y=\frac{x}{1+\|x\|}=\frac{x}{ 1 +\frac{\|y\|}{1-\|y\|}}=(1-\|y\|)x$$
on tire
$$x=\frac{y}{1-\|y\|}$$
Réciproquement, on vérifie très facilement que
$$g\left(\frac{y}{1-\|y\|}\right)=y.$$
On a donc prouvé que $g$ est une bijection de $E$ sur $B(0,1)$ et que $g^{-1}(y)=\frac{y}{1-\|y\|}$ (le dénominateur ne s'annule pas). On conclut que $g$ et $g^{-1}$ sont continues comme quotient de deux fonctions continues.
