Indication 
Faire un raisonnement par l'absurde : si $\|\cdot\|_1$ est issue d'un produit scalaire $\varphi_1$, alors on peut calculer $\varphi_1(x,y)$ en fonction de $\|\cdot\|_1$ par la formule de polarisation. Appliquer ceci pour des valeurs bien choisies (et simples) de $x$ et $y$ pour arriver à une contradiction (par exemple, pour prouver que $\varphi_1$ n'est pas bilinéaire).
Corrigé Faisons un raisonnement par l'absurde, et supposons qu'il existe un produit scalaire $\varphi_1$ sur $\mathbb R^n$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R^n,$ on a $\varphi_1(x,x)=\|x\|_1^2.$ Alors, par la formule de polarisation, on sait que pour tout $(x,y)\in\mathbb R^n\times\mathbb R^n,$ on a
$$\varphi_1(x,y)=\frac{1}{2}\left(\|x+y\|_1^2-\|x\|_1^2-\|y\|_1^2\right).$$
Appliquons ceci avec $x=e_1$ et $y=e_2$. Il vient
\begin{align*}
\varphi_1(e_1,e_2)&=\frac 12\left(\|e_1+e_2\|_1^2-\|e_1\|_1^2-\|e_2\|_1^2\right)\\
&=\frac 12(4-1-1)=1.
\end{align*}
Mais un calcul complètement similaire prouve que
$$\varphi_1(e_1,-e_2)=1.$$
Ainsi, on a $\varphi_1(e_1,e_2)=\varphi_1(e_1,-e_2)$ ce qui contredit que $\varphi_1$ est bilinéaire.
Le raisonnement est tout à fait similaire pour la norme infinie. Si elle était issue d'un produit scalaire $\varphi_\infty,$ alors on trouverait
$$\varphi_\infty(e_1,e_2)=\varphi_{\infty}(e_1,-e_2)=-\frac 12,$$
une contradiction.
