Corrigé 
Supposons que cet idéal soit principal, et notons $P\in\mathbb Z[X]$ tel que $I=(P).$ Alors on sait que $P|2$ et donc $P=c$ est une constante. De plus, $P|X$, et donc $X=c Q$ avec $Q\in\mathbb Z[X]$. Ceci n'est possible que si $c=\pm 1$ et $Q=\pm X$. Finalement, $P$ est un élément inversible de $\mathbb Z[X]$ et $I=\mathbb Z[X]$. Reste à voir que ce n'est pas le cas.
En effet,
$$I=\left\{\lambda 2+\mu X:\ \lambda,\mu\in \mathbb Z[X]\right\}.$$
En particulier, $3\notin I$ car le terme constant de $\lambda 2+\mu X$ est toujours divisible par $2$.