Accroissements finis et inégalités - Bibm@th.net

Exercice 1 - Accroissements finis et inégalités ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]

Enoncé

Démontrer les inégalités suivantes :

1. $\forall x,y\in\mathbb R,\ |\arctan(x)-\arctan(y)|\leq |x-y|$.
2. $\forall x\geq 0$, $x\leq e^x-1\leq xe^x$.

Indication

1. Appliquer l'inégalité des accroissements finis à $\arctan$ entre $x$ et $y$.
2. Appliquer le théorème des accroissements finis à $e^x$ entre $0$ et $x$.

Corrigé

1. On rappelle que la fonction $\arctan$ est dérivable sur $\mathbb R$ de dérivée $x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$. De plus, pour tout $x\in\mathbb R$, $$\left|\frac1{1+x^2}\right|\leq 1.$$ L'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction $\arctan$ entre $x$ et $y$ donne alors le résultat.
2. Si $x=0,$ l'inégalité est trivialement vérifiée. Si $x>0,$ o applique cette fois le théorème (et non l'inégalité!) des accroissements finis à $e^x$ entre $0$ et $x$. Il existe donc $c\in ]0,x[$ tel que $$e^x-1=e^x-e^0=e^c(x-0)=e^c x.$$ Puisque $1\leq e^c\leq e^x$ et $x\geq 0$, on en déduit l'inégalité demandée.