Enoncé 
Déterminer tous les morphismes de groupes de $(\mathbb Q,+)$ dans $(\mathbb Z,+)$.
Indication 
Démontrer et utiliser que si $f$ est un tel morphisme et $p$ et $q$ sont des entiers naturels, $f(p)=pf(1)$ et $f\left(\frac 1q\right)=\frac{1}{q}f(1)$.
Corrigé Soit $f$ un tel morphisme de groupe. On va commencer par démontrer que pour $p$ et $q$ des entiers naturels, on a
$f(p)=pf(1)$ et $f\left(\frac 1q\right)=\frac{1}{q}f(1)$. La première des deux propriétés se démontre aisément par récurrence.
Pour la deuxième, on écrit que
$$f(1)=f\left(\frac 1q+\cdots+\frac 1q\right)=qf\left(\frac 1q\right).$$
Notons ensuite $a=f(1)$. Alors $a/q$ est un entier pour tout entier $q$, et donc $a=0$. On en déduit que $f(p)=f(1/q)=0$ pour tous les entiers $p$ et $q$,
puis que $f(p/q)=pf(1/q)=0$. Finalement, on trouve que $f$ est le morphisme nul.
