Somme de deux variables aléatoires suivant une loi de Poisson - Bibm@th.net

Fixons $k\geq 0$ et pour $l=0,\dots,k$, notons $A_l$ l'événement "$X=l$", $B_l$ l'événement "$Y=k-l$", de sorte que "$Z=k$" soit la réunion disjointe des événements $A_l\cap B_l$, pour $l=0,\dots,k$. Par indépendance des variables aléatoires, on a donc \begin{eqnarray*} P(Z=k)&=&\sum_{l=0}^k P(X=l)P(Y=k-l)\\ &=&\sum_{l=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^l}{l!}e^{-\mu}\frac{\mu^{k-l}}{(k-l)!}\\ &=&e^{-(\lambda+\mu)}\sum_{l=0}^k \frac{1}{l!(k-l)!}\lambda^l\mu^{k-l}\\ &=&\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}\sum_{l=0}^k \binom kl \lambda^l \mu^{k-l}\\ &=&\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k \end{eqnarray*} La variable aléatoire $Z=X+Y$ suit donc bien une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.