Enoncé 
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $\frac1{1+X}$.
Indication 
Écrire la définition de l'espérance à l'aide d'une série. Puis appliquer les techniques usuelles de calculs de somme d'une série. On peut aussi appliquer le théorème de transfert.
Corrigé Notons $Y=\frac 1{1+X}$. $Y$ prend ses valeurs dans $\left\{\frac{1}{1+k};\ k\geq 0\right\}$ et on a
$$P\left(Y=\frac 1{1+k}\right)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}.$$
On en déduit que
\begin{eqnarray*}
E(Y)&=&\sum_{k\geq 0}\frac{1}{1+k}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\\
&=&\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^k}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\
&=&\frac1{\lambda}\sum_{k\geq 0}\frac{\lambda^{k+1}}{(k+1)!}e^{-\lambda}\\
&=&\frac{e^{-\lambda}}{\lambda}\left(e^{\lambda}-1\right)\\
&=&\frac{1-e^{-\lambda}}{\lambda}.
\end{eqnarray*}
On pouvait aussi retrouver ce résultat en appliquant la formule de transfert à la fonction $x:\mapsto 1/(1+x).$ On obtient alors
\begin{align*}
E(Y)&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{1+n}P(X=n)\\
&=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{1+n}\frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}
\end{align*}
et on termine le calcul de la même façon.
