$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}}
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$$
Lien copié ✅
Lecture de la table de la loi normale - Bibm@th.net
Enoncé 
- Lecture directe : soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal N(0,1)$.
Déterminer $t>0$ tel que $P(-t<X<t)\simeq 0,95$.
- Renormalisation : soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal N(8,4)$.
Donner des valeurs approchées pour
$$P(X<7,5),\ P(X>8,5),\ P(6,5<X<10),\ P(X>6|X>5).$$
- Lecture inverse : Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi gaussienne. Déterminer
l'espérance et la variance de $X$ sachant que
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
P(X<-1)&\simeq& 0,05\\
P(X>3)&\simeq& 0,12.
\end{array}\right.$$
Indication 
-
- Utiliser une variable $Y$ qui suit une loi normale $\mathcal N(0,1)$.
-
Corrigé
- On note $\phi$ la fonction de répartition de la loi $\mathcal N(0,1)$. On a
$$P(-t<X<t)=\phi(t)-\phi(-t)=\phi(t)-(1-\phi (t))=2\phi(t)-1.$$
Donc $P(-t<X<t)\simeq 0,95\iff \phi(t)=0,975$ ce qui donne $t\simeq 1,96$.
- Si $X$ suit la loi $\mathcal N(m,\sigma^2)$, alors $Y=\frac{X-m}{\sigma}$ suit la loi $\mathcal N(0,1)$. Posons ici $Y=\frac{X-8}2$. Alors $Y$ suit la loi $\mathcal N(0,1)$.
On peut alors répondre aux diverses questions en les formulant à l'aide de $Y$, et en utilisant
la table de la loi normale.
- On a $X<7,5\iff Y< -0,5/ 2=-0,25$. On a donc
$$P(X<7,5)=\phi(-0,25)=1-\phi(0,25).$$
Puisque $\phi(0,25)\simeq 0,60$, on trouve finalement que
$$P(X<7,5)\simeq 1-0,6=0,4.$$
- On a $X>8,5\iff Y>0,5$ et donc
$$P(X>8,5)=P(Y>0,25)=1-\phi(0,25)\simeq 0,40.$$
- On a $6,5<X<10\iff -0,75<Y<1$ et on trouve donc
\begin{align*}
P(6,5<X<10)
&=\phi(1)-\phi(-0,75)\\
&=\phi(1)-(1-\phi(0,75))\\
&=\phi(1)+\phi(0,75)-1\\
&\simeq 0,60.
\end{align*}
- Il y a une difficulté supplémentaire du fait de l'événement qui est un peu plus compliqué.
On résout cette difficulté en écrivant que :
$$P(X>6|X>5)=\frac{P\big((X>6)\cap (X>5)\big)}{P(X>5)}=\frac{P(X>6)}{P(X>5)}.$$
En renormalisant comme aux questions précédentes, on trouve que
$$P(X>6|X>5)=\frac{P(Y>-1)}{P(Y>-1/5)}=\frac{1-\phi(-1)}{1-\phi(-1,5)}=\frac{\phi(1)}{\phi(1,5)}\simeq 0,9015.$$
- Si $X$ suit la loi $\mathcal N(m,\sigma^2)$, alors $Y=\frac{X-m}{\sigma}$ suit la loi $\mathcal N(0,1)$.
On doit avoir :
$$0,05=P(X<-1)=P\left(Y<\frac{-1-m}\sigma\right)=\phi\left(\frac{-1-m}\sigma\right)$$
et
$$0,12=P(X>3)=1-P\left(Y\leq \frac{3-m}\sigma\right)=1-\phi\left(\frac{3-m}\sigma\right).$$
Or, $0,05=1-0,95=\simeq \phi(-1,645)$ et $0,12\simeq \phi(-1,175)$. On doit donc avoir
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\frac{-1-m}\sigma&=&-1,645\\
\frac{m-3}\sigma&=&-1,175.
\end{array}\right.$$
On résout le système et on trouve que
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
m&\simeq&1,33\\
\sigma&\simeq&1,41.
\end{array}\right.$$
Finalement, la variance vaut $\sigma^2\simeq (1,\!41)^2\simeq 1,\!98$.
