Uniforme et exponentielle - Bibm@th.net

On va calculer la fonction de répartition de $X$. On remarque que $X\leq x$ si et seulement si $U\geq \exp(-x)$, puisque la fonction $x\mapsto \exp(-x)$ est décroissante. On a donc $$F_X(x)=P(X\leq x)=P(U\geq \exp(-x)).$$ Si $x<0$, alors $\exp(-x)>1$ et donc $F_X(x)=0$. Si $x\geq 0$, alors $\exp(-x)\in[0,1]$ et donc, puis $U$ suit une loi uniforme à valeurs dans $[0,1]$, $$F_X(x)=1-\exp(-x).$$ On reconnait bien la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre 1 (on peut encore dériver la fonction de répartition pour retomber sur la densité).