Fonctions continues périodiques - Bibm@th.net

Fixons $\veps>0$. Par le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur le segment $[-T,2T]$ : $$\exists\eta>0,\ x,y\in[-T,2T]\textrm{ et }|x-y|\leq\eta\implies |f(x)-f(y)|\leq\varepsilon$$ (on peut supposer $\eta<T$). Prenons alors $x$ et $y$ dans $\mtr$, avec $|x-y|\leq\eta$. Il existe $k\in \mtz$ tel que $x'=x+kT\in[0,T]$. Mais alors, on a $y'=y+kT\in[x'-\eta,x'+\eta]\subset[-T,2T]$. Remarquons enfin que $|x'-y'|\leq\eta$. On en déduit : $$|f(x)-f(y)|=|f(x')-f(y')|\leq \veps.$$ La fonction est uniformément continue sur $\mtr$.