Théorème de Bernstein - Bibm@th.net
Exercice 1 - Théorème de Bernstein ♡ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] [Copier le lien]
Enoncé 
Soit $f$ une fonction de classe $C^\infty$ sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$
telle que $f$, et toutes ses dérivées, sont positives sur $I$.
Soit $\alpha>0$ tel que $[-\alpha,\alpha]\subset I$. On veut prouver dans cet exercice que
$f$ est somme de sa série de Taylor sur l'intervalle $]-\alpha,\alpha[$.
- Justifier que, pour tout $x\in[-\alpha,\alpha]$, $$f(x)=f(0)+x f'(0)+\dots+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+x^{n+1}\int_0^1\frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(x u)du.$$ On pose alors, pour tout $x\in [-\alpha,\alpha]$, $R_n(x)=x^{n+1}\int_0^1 \frac{(1-u)^n}{n!}f^{(n+1)}(x u)du.$
- Démontrer que, si $|x|< \alpha$, alors $|R_n(x)|\leq |x/\alpha|^{n+1}R_n(\alpha)$.
- Conclure.
